Тренировочный вариант №549 Александра Ларина по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2027 опубликован 17 октября 2026 года. На этой странице — все 20 заданий варианта текстом с формулами и чертежами, ответы к заданиям 1–13 и оригинальный файл PDF для печати.
| Вариант | Тренировочный вариант Ларина №549 |
| Дата публикации | 17 октября 2026 года |
| Предмет | математика, профильный уровень, 11 класс |
| Формат | ЕГЭ 2027: 20 заданий (13 с кратким ответом + 7 с развёрнутым), 3 часа 55 минут |
| Ответы | к заданиям 1–13 — на этой странице |
| Источник | alexlarin.net (автор — А. А. Ларин) |
Содержание:
Структура варианта Ларина №549 ЕГЭ 2027
Вариант составлен по структуре ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня и состоит из двух частей. Часть 1 — 13 заданий с кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь): планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей и статистика, уравнения, вычисления, задачи с прикладным содержанием, текстовые задачи, графики функций и финансовая задача. Часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом (14–20): уравнение, стереометрическая задача, неравенство, прикладная задача, планиметрия, задача с параметром и задача на свойства целых чисел. На выполнение всей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Варианты Александра Ларина традиционно чуть сложнее реального экзамена, поэтому они хорошо подходят для тренировки: если уверенно решаете вариант Ларина, на ЕГЭ задания покажутся знакомыми. Новый вариант автор публикует каждую субботу, а ответы — через неделю.
Вариант Ларина №549 в PDF
Оригинальный файл варианта можно посмотреть прямо на сайте, распечатать или сохранить на телефон и компьютер.
Часть 1: задания 1–13 варианта Ларина №549
Ответом к заданиям 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ спрятан под условием — сначала решите задачу сами.
Задание 1
В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $135^\circ$. На стороне $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD=2$, $CE=3$, угол $DBE$ – прямой, $AD+DE=AE$, $BD=BE$. Найдите квадрат длины отрезка $DE$.
Показать ответ
Ответ: 12
Задание 2
Даны векторы $\vec{u}=\vec{a}+2\vec{b}$ и $\vec{v}=3\vec{a}-\vec{b}$. Известно, что $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$, а угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
Показать ответ
Ответ: 21
Задание 3
Найдите объем $V$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $\angle AB_1D=\angle B_1AB=30^\circ$, $B_1D=12$. В ответе укажите $\frac{V}{\sqrt{3}}$.
Показать ответ
Ответ: 162
Задание 4
В трех одинаковых коробках лежат теннисные мячи. В первой — 4 новых и 2 сыгранных, во второй — 3 новых и 3 сыгранных, в третьей — 6 сыгранных. Теннисист наугад выбирает одну из коробок и достает из нее один мяч, который оказывается сыгранным. Найдите вероятность того, что мяч был извлечен из первой коробки. Ответ округлите до сотых.
Показать ответ
Ответ: 0,18
Задание 5
Два числа $x$ и $y$ выбираются наудачу и независимо друг от друга из отрезка $\left[0;\ 2\right]$. Найдите вероятность того, что расстояние между этими числами не превосходит 1, если известно, что их сумма не меньше 1. Ответ округлите до сотых.
Показать ответ
Ответ: 0,71
Задание 6
Известно, что случайная величина $X$ подчиняется распределению
$$X\sim\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}15 & 0{,}05\end{pmatrix}$$
Найдите вероятность события $0<X\le 4$.
Показать ответ
Ответ: 0,85
Задание 7
Найдите корень уравнения $\sqrt{x^3-3x^2-3x+10}=x-2$. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
Показать ответ
Ответ: 5
Задание 8
Найдите значение выражения: $\log_{2}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\log_{2}\left(\sin\frac{5\pi}{12}\right)$.
Показать ответ
Ответ: -2
Задание 9
Тело движется прямолинейно, его скорость меняется по закону $v(t)=3t^2-12t+9$ (м/с). Найдите путь, пройденный телом за первые 3 секунды.
Показать ответ
Ответ: 8
Задание 10
При спуске беспилотного корабля в разреженной атмосфере планеты его скорость $v$ (в м/с) падает по экспоненциальному закону, который зависит от высоты над поверхностью $h$ (в км):
$$v(h)=v_{\text{ВХ}}\cdot 3^{-\frac{h_0-h}{L}}+v_{\text{ОСТ}}$$
где $v_{\text{ВХ}}=900$ м/с — начальная скорость при входе в плотные слои, $v_{\text{ОСТ}}=12$ м/с — остаточная скорость у поверхности за счет парашютов, $h_0=45$ км — высота начала торможения, а $L=15$ км — масштаб высоты атмосферы. Компьютер должен включить тормозные маневровые двигатели в тот момент, когда скорость спускаемого аппарата упадет до 112 м/с. На какой высоте $h$ (в километрах) автоматика выдаст команду на включение двигателей?
Показать ответ
Ответ: 15
Задание 11
Для съемок атмосферного французского кино требуется вручную выкрасить в сложный градиент фасад декорации парижского кафе. Два маляра, работая вместе, могут справиться с этой задачей ровно за 6 часов. Однако по задумке режиссера красить нужно строго последовательно. Сначала первый маляр загрунтовал и покрасил 40% площади фасада, после чего его сменил второй и доделал оставшиеся 60%. В итоге вся работа заняла 13 часов.
За какое время (в часах) смог бы выкрасить весь фасад первый маляр, работая в одиночку, если известно, что он более опытный и работает быстрее своего напарника?
Показать ответ
Ответ: 10
Задание 12
На рисунке изображены графики функций $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите ординату точки $A$.
Показать ответ
Ответ: 1206
Задание 13
В июле 2028 года берется кредит на 3 года в размере 1 млн рублей. Долг возрастает на 10% каждый январь. С февраля по июнь вносится платеж. Платежи в 2029 и 2031 годах равны. Платеж в 2030 году на 114 тыс. рублей меньше платежа 2029 года. К июлю 2031 года долг выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат в тыс руб.
Показать ответ
Ответ: -10
Часть 2: задания 14–20 варианта Ларина №549
В заданиях 14–20 нужно записать полное обоснованное решение и ответ. Решения задач части 2 обсуждают на форуме alexlarin.com.
Задание 14
А) Решите уравнение
$$\frac{\sin^4\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin^4(\pi-x)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}=0$$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\ 0\right]$.
Задание 15
В основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равносторонний треугольник $ABC$, вершина $A_1$ проецируется в центр основания $ABC$, ребро $AA_1$ наклонено к плоскости $ABC$ под углом $60^\circ$. Через точку $C$ проведена плоскость перпендикулярно ребру $AA_1$, пересекающая его в точке $P$.
А) Докажите, что $AP:PA_1=3:5$.
Б) Найдите расстояние между прямыми $PD$ и $BT$, где точки $D$ и $T$ – середины ребер $BC$ и $AC$ соответственно, если сторона основания призмы равна $2\sqrt{3}$.
Задание 16
Решите неравенство:
$$\frac{\log_{x^2-x+1}\left(2x^2-3x+2\right)}{4^x-3\cdot 2^x-4}\le 0.$$
Задание 17
При тестировании кастомной системы жидкостного охлаждения для криптофермы амплитуда вибрации помпы $A$ (в мкм) при угловой скорости вращения ротора $\omega$ (в рад/с) описывается формулой, аналогичной модели вынужденных колебаний платформы вибростенда:
$$A(\omega)=\frac{12000}{\sqrt{\left(\omega^2-34\right)^2+36\omega^2}}$$
где $\omega>0$. При какой угловой скорости $\omega$ амплитуда вибрации помпы будет максимальной? Найдите эту максимальную амплитуду.
Задание 18
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$, пересекающиеся в точке $H$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Окружность, описанная около треугольника $AB_1C_1$, пересекает медиану $AM$ в точке $N$, отличной от точки $A$.
А) Докажите, что точки $B$, $C$, $N$ и $H$ лежат на одной окружности.
Б) Найдите $HN$, если стороны треугольника равны: $AB=5$, $BC=6$, $AC=7$.
Задание 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\frac{2a^2-2a(\sin x+\cos x)+\sin 2x}{\sqrt{2\sin x-1}}=0$$
Имеет ровно два различных корня на отрезке $\left[0;\ 2\pi\right]$.
Задание 20
На доске написаны $N$ попарно различных двузначных натуральных чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 51. Если стереть все числа, оканчивающиеся на 0 (известно, что на доске было хотя бы одно такое число), то среднее арифметическое оставшихся чисел станет равно 53.
а) Могло ли быть стерто ровно 2 числа?
б) Могло ли на доске изначально быть ровно 25 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответы к варианту Ларина №549
Ответы к заданиям 1–13 тренировочного варианта Ларина №549 (часть 1). Задания 14–20 оцениваются по полному решению.
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 21 |
| 3 | 162 |
| 4 | 0,18 |
| 5 | 0,71 |
| 6 | 0,85 |
| 7 | 5 |
| 8 | -2 |
| 9 | 8 |
| 10 | 15 |
| 11 | 10 |
| 12 | 1206 |
| 13 | -10 |
Как решать вариант Ларина
- Решайте вариант целиком с таймером на 3 часа 55 минут, без подсказок и справочников (кроме справочных материалов в начале варианта).
- Сначала пройдите часть 1, затем беритесь за задания 14–20 — начните с тех, где увереннее всего.
- Сверьте ответы части 1, отметьте ошибки и разберите темы, на которых они допущены.
- Решения части 2 запишите полностью, как на экзамене, и сравните с обсуждением на форуме.
Вопросы и ответы
Когда опубликован вариант Ларина №549?
Тренировочный вариант №549 ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня Александр Ларин опубликовал 17 октября 2026 года.
Сколько заданий в варианте Ларина №549?
В варианте 20 заданий: 13 заданий с кратким ответом (часть 1) и 7 заданий с развёрнутым ответом (часть 2), как в ЕГЭ 2027.
Где ответы к варианту Ларина №549?
Ответы к заданиям 1–13 есть на этой странице: под каждым заданием и в общей таблице в конце.
Можно ли скачать вариант?
Да, оригинальный вариант в формате PDF можно открыть на странице, скачать и распечатать.
Другие варианты Ларина ЕГЭ 2027
- Вариант Ларина №543 от 5 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №544 от 12 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №545 от 19 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №546 от 26 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №547 от 3 октября 2026 года
- Вариант Ларина №548 от 10 октября 2026 года
- Вариант Ларина №550 от 24 октября 2026 года
- Вариант Ларина №551 от 31 октября 2026 года
Автор варианта — Александр Александрович Ларин. Оригинал: alexlarin.net. Материалы распространяются автором бесплатно для образовательных некоммерческих целей.