Тренировочный вариант №543 Александра Ларина по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2027 опубликован 5 сентября 2026 года. На этой странице — все 20 заданий варианта текстом с формулами и чертежами, ответы к заданиям 1–13 и оригинальный файл PDF для печати.
| Вариант | Тренировочный вариант Ларина №543 |
| Дата публикации | 5 сентября 2026 года |
| Предмет | математика, профильный уровень, 11 класс |
| Формат | ЕГЭ 2027: 20 заданий (13 с кратким ответом + 7 с развёрнутым), 3 часа 55 минут |
| Ответы | к заданиям 1–13 — на этой странице |
| Источник | alexlarin.net (автор — А. А. Ларин) |
Содержание:
Структура варианта Ларина №543 ЕГЭ 2027
Вариант составлен по структуре ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня и состоит из двух частей. Часть 1 — 13 заданий с кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь): планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей и статистика, уравнения, вычисления, задачи с прикладным содержанием, текстовые задачи, графики функций и финансовая задача. Часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом (14–20): уравнение, стереометрическая задача, неравенство, прикладная задача, планиметрия, задача с параметром и задача на свойства целых чисел. На выполнение всей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Варианты Александра Ларина традиционно чуть сложнее реального экзамена, поэтому они хорошо подходят для тренировки: если уверенно решаете вариант Ларина, на ЕГЭ задания покажутся знакомыми. Новый вариант автор публикует каждую субботу, а ответы — через неделю.
Вариант Ларина №543 в PDF
Оригинальный файл варианта можно посмотреть прямо на сайте, распечатать или сохранить на телефон и компьютер.
Часть 1: задания 1–13 варианта Ларина №543
Ответом к заданиям 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ спрятан под условием — сначала решите задачу сами.
Задание 1
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB=25$ на катете $AC=15$ как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу $AB$ в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$.
Показать ответ
Ответ: 16
Задание 2
Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, причём $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите квадрат длины вектора $2\vec{a}+\vec{b}$
Показать ответ
Ответ: 31
Задание 3
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны $2\sqrt{6}$. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани $SCD$.
Показать ответ
Ответ: 2
Задание 4
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из пяти мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0{,}8$. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первые три мишени и не попадёт в последние две.
Показать ответ
Ответ: 0,02048
Задание 5
В урне находятся 3 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара, не возвращая их обратно. После этого из оставшихся шаров наугад вынимают еще один шар. Найдите вероятность того, что этот третий шар окажется белым.
Показать ответ
Ответ: 0,375
Задание 6
Игральный кубик бросают до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше или равна 3. Найдите математическое ожидание числа сделанных бросков. Ответ округлите до сотых.
Показать ответ
Ответ: 1,36
Задание 7
Найдите корень уравнения $\log_{x-3}(x^2-8x+15)=\log_{x-3}(2x-9)$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Показать ответ
Ответ: 6
Задание 8
Найдите значение выражения $\log_{3}2\cdot\log_{4}3\cdot\log_{5}4\cdot\ldots\cdot\log_{32}31$.
Показать ответ
Ответ: 0,2
Задание 9
К графику функции $y=x^3-3x^2+2x+5$ проведена касательная, проходящая через точку $(1;\ 3)$, которая не лежит на графике. Найдите угловой коэффициент этой касательной.
Показать ответ
Ответ: 2
Задание 10
Два тела массой $m_1=3$ кг и $m_2=5$ кг связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок. Путь, пройденный системой за время $t$, выражается формулой $S(t)=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\cdot\frac{gt^2}{2}$, где $g=10\ \text{м/с}^2$ – ускорение свободного падения. Определите, через сколько секунд после начала движения скорость системы достигнет 5 м/с.
Показать ответ
Ответ: 2
Задание 11
Два промышленных насоса, работая совместно, способны откачать воду из затопленного котлована за 12 часов. Если сначала первый насос откачает ровно половину объема воды, а затем его сменит второй насос и откачает оставшуюся половину, то вся работа займет 25 часов. Известно, что производительность первого насоса выше производительности второго. За сколько часов может откачать всю воду из котлована один первый насос, работая самостоятельно?
Показать ответ
Ответ: 20
Задание 12
На рисунке изображены графики функций $f(x)=-2x^2+7x-2$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.
Показать ответ
Ответ: 7
Задание 13
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (млн руб) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше $1{,}2$ млн руб.
Показать ответ
Ответ: -17
Часть 2: задания 14–20 варианта Ларина №543
В заданиях 14–20 нужно записать полное обоснованное решение и ответ. Решения задач части 2 обсуждают на форуме alexlarin.com.
Задание 14
А) Решите уравнение $\log_{\sin x}(\cos 2x)+\log_{\cos 2x}(\sin x)=2$.
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.
Задание 15
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 4. На ребре $A_1B_1$ отмечена точка $N$ так, что $B_1N=1$. Плоскость $\alpha$ проходит через середину ребра $A_1C_1$ и точки $N$ и $C$.
А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$, считая от точки $B_1$
Б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABB_1$.
Задание 16
Решите неравенство:
$$\frac{\log_{2}^{2}(x^2)-16\log_{2}(2x)+32}{\log_{2}^{2}(x)+3\log_{2}\left(\frac{x}{8}\right)+5}\le 0$$
Задание 17
При подключении последовательного контура к источнику переменного тока амплитуда силы тока $I$ (в амперах) в цепи зависит от циклической частоты $\omega$ (в рад/с) и выражается формулой:
$$I=\frac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$$
где $U=220\ \text{В}$ — амплитуда напряжения источника, $R=44\ \text{Ом}$ — активное сопротивление цепи, $L=0{,}2\ \text{Гн}$ — индуктивность катушки, а $C=20\ \text{мкФ}=20\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$ — емкость конденсатора. Найдите наибольшую возможную силу тока (в амперах) в этой цепи.
Задание 18
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны соответственно 4 и 9.
А) Докажите, что произведение площадей треугольников $BOC$ и $AOD$ равно 36.
Б) Найдите минимально возможную площадь четырёхугольника $ABCD$.
Задание 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{a+\sqrt{a+x}}=x$$
имеет ровно один действительный корень.
Задание 20
Юра и Полина выписали на доску каждый по несколько попарно различных натуральных чисел. При этом одно и то же число может быть выписано и Юрой, и Полиной. Оказалось, что ни у кого из них на доске нет числа 100, а среднее арифметическое чисел Юры в точности равно среднему арифметическому чисел Полины (и является целым числом). Известно, что если к числам Юры добавить число 100, то среднее арифметическое его чисел увеличится на 2. Если же число 100 добавить к числам Полины, то среднее арифметическое её чисел увеличится на 3.
А) Могло ли у Юры быть выписано ровно на 4 числа больше, чем у Полины?
Б) Могло ли исходное среднее арифметическое выписанных чисел равняться 16?
В) Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано у Полины?
Ответы к варианту Ларина №543
Ответы к заданиям 1–13 тренировочного варианта Ларина №543 (часть 1). Задания 14–20 оцениваются по полному решению.
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | 16 |
| 2 | 31 |
| 3 | 2 |
| 4 | 0,02048 |
| 5 | 0,375 |
| 6 | 1,36 |
| 7 | 6 |
| 8 | 0,2 |
| 9 | 2 |
| 10 | 2 |
| 11 | 20 |
| 12 | 7 |
| 13 | -17 |
Как решать вариант Ларина
- Решайте вариант целиком с таймером на 3 часа 55 минут, без подсказок и справочников (кроме справочных материалов в начале варианта).
- Сначала пройдите часть 1, затем беритесь за задания 14–20 — начните с тех, где увереннее всего.
- Сверьте ответы части 1, отметьте ошибки и разберите темы, на которых они допущены.
- Решения части 2 запишите полностью, как на экзамене, и сравните с обсуждением на форуме.
Вопросы и ответы
Когда опубликован вариант Ларина №543?
Тренировочный вариант №543 ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня Александр Ларин опубликовал 5 сентября 2026 года.
Сколько заданий в варианте Ларина №543?
В варианте 20 заданий: 13 заданий с кратким ответом (часть 1) и 7 заданий с развёрнутым ответом (часть 2), как в ЕГЭ 2027.
Где ответы к варианту Ларина №543?
Ответы к заданиям 1–13 есть на этой странице: под каждым заданием и в общей таблице в конце.
Можно ли скачать вариант?
Да, оригинальный вариант в формате PDF можно открыть на странице, скачать и распечатать.
Другие варианты Ларина ЕГЭ 2027
- Вариант Ларина №544 от 12 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №545 от 19 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №546 от 26 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №547 от 3 октября 2026 года
- Вариант Ларина №548 от 10 октября 2026 года
- Вариант Ларина №549 от 17 октября 2026 года
- Вариант Ларина №550 от 24 октября 2026 года
- Вариант Ларина №551 от 31 октября 2026 года
Автор варианта — Александр Александрович Ларин. Оригинал: alexlarin.net. Материалы распространяются автором бесплатно для образовательных некоммерческих целей.