Тренировочный вариант №548 Александра Ларина по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2027 опубликован 10 октября 2026 года. На этой странице — все 20 заданий варианта текстом с формулами и чертежами, ответы к заданиям 1–13 и оригинальный файл PDF для печати.
| Вариант | Тренировочный вариант Ларина №548 |
| Дата публикации | 10 октября 2026 года |
| Предмет | математика, профильный уровень, 11 класс |
| Формат | ЕГЭ 2027: 20 заданий (13 с кратким ответом + 7 с развёрнутым), 3 часа 55 минут |
| Ответы | к заданиям 1–13 — на этой странице |
| Источник | alexlarin.net (автор — А. А. Ларин) |
Содержание:
Структура варианта Ларина №548 ЕГЭ 2027
Вариант составлен по структуре ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня и состоит из двух частей. Часть 1 — 13 заданий с кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь): планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей и статистика, уравнения, вычисления, задачи с прикладным содержанием, текстовые задачи, графики функций и финансовая задача. Часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом (14–20): уравнение, стереометрическая задача, неравенство, прикладная задача, планиметрия, задача с параметром и задача на свойства целых чисел. На выполнение всей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Варианты Александра Ларина традиционно чуть сложнее реального экзамена, поэтому они хорошо подходят для тренировки: если уверенно решаете вариант Ларина, на ЕГЭ задания покажутся знакомыми. Новый вариант автор публикует каждую субботу, а ответы — через неделю.
Вариант Ларина №548 в PDF
Оригинальный файл варианта можно посмотреть прямо на сайте, распечатать или сохранить на телефон и компьютер.
Часть 1: задания 1–13 варианта Ларина №548
Ответом к заданиям 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ спрятан под условием — сначала решите задачу сами.
Задание 1
В равнобедренном треугольнике $ABC$ из точки $D$ на основании $BC$ опущены перпендикуляры $DE=3$ и $DF=6$ на боковые стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите высоту $BH$.
Показать ответ
Ответ: 9
Задание 2
Даны векторы $\vec{a}(2;\ -3)$ и $\vec{b}(x;\ 6)$. При каком значении $x$ длина вектора $\vec{a}+\vec{b}$ принимает наименьшее возможное значение? В ответе запишите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ при найденном значении $x$.
Показать ответ
Ответ: -22
Задание 3
Основанием прямой призмы является трапеция $ABCD$ $AB=CD$, периметр которой равен 16, а угол $BAD$ равен $30^\circ$. Найдите радиус сферы, вписанной в эту призму.
Показать ответ
Ответ: 1
Задание 4
Симметричную монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет строго больше раз, чем «решка».
Показать ответ
Ответ: 0,5
Задание 5
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6 при первом выстреле. При каждом следующем выстреле (в случае промаха в предыдущем) он концентрируется, и вероятность попадания увеличивается на 0,1 (но не может превысить 1). Если же стрелок попадает, его уверенность растет, и вероятность попасть следующим выстрелом становится равной 0,8. Стрелок сделал 3 выстрела. Найдите вероятность того, что он попал ровно 2 раза.
Показать ответ
Ответ: 0,428
Задание 6
Найдите математическое ожидание случайной величины — числа выпадений «шестёрки» при 3 бросках игрального кубика.
Показать ответ
Ответ: 0,5
Задание 7
Решите уравнение $\log_{2}\left(x^2-6x+9\right)=\log_{\sqrt{2}}(x-1)$.
Показать ответ
Ответ: 2
Задание 8
Найдите значение выражения $\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}$.
Показать ответ
Ответ: 6
Задание 9
Прямая $y=3x+b$ касается графика функции $f(x)=x^3-3x^2-21x+5$. Найдите наибольшее возможное значение $b$.
Показать ответ
Ответ: 33
Задание 10
При разработке искусственных биомембран для дыхания человека под водой (кибер-жабр) масса $M$ (в граммах) поглощённого за час кислорода зависит от парциального давления газа $P$ (в атмосферах) и рассчитывается по формуле:
$$M(P)=M_0\cdot\log_{2}\left(1+\frac{P}{P_0}\right)+k\cdot P^2$$
где $M_0=4$ г и $P_0=0{,}5$ атм — базовые параметры мембраны, а $k=4$ г/атм² — коэффициент конструктивной жесткости. Испытания показали, что для стабильного дыхания акванавта мембрана должна поглощать ровно 5 граммов кислорода за час. Найдите парциальное давление газа $P$ (в атмосферах), при котором достигается этот показатель.
Показать ответ
Ответ: 0,5
Задание 11
В лаборатории имеются три сосуда с растворами кислоты разной концентрации. Если смешать первый и второй растворы в равных массах, то получится 30%-й раствор кислоты. Если смешать второй и третий растворы в равных массах, получится 50%-й раствор кислоты. Наконец, если взять 1 кг первого раствора, 2 кг второго и 3 кг третьего, то получится 45%-й раствор кислоты. Какова процентная концентрация кислоты в третьем сосуде?
Показать ответ
Ответ: 55
Задание 12
На рисунке изображены графики функций $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.
Показать ответ
Ответ: 600
Задание 13
В июле 2028 года планируется взять кредит на 4 года в размере 360 тыс. рублей. Каждый январь долг возрастает на 25%. С февраля по июнь вносится платеж. В июле 2030 и 2031 годов долг остается неизменным и равен долгу на июль 2029 года. Выплаты в 2029 и 2032 годах равны. К июлю 2032 года долг выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат по кредиту в тыс. рублей.
Показать ответ
Ответ: 8
Часть 2: задания 14–20 варианта Ларина №548
В заданиях 14–20 нужно записать полное обоснованное решение и ответ. Решения задач части 2 обсуждают на форуме alexlarin.com.
Задание 14
А) Решите уравнение $\frac{\cos 2x+\left(2+\sqrt{3}\right)\sin x-1-\sqrt{3}}{\log_{3}(-\cos x)}=0$.
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.
Задание 15
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 3. На ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $AC$ отмечены точки $M$, $K$, $L$ и $N$ соответственно так, что $A_1M=BK=C_1L=CN=1$. Через центр основания $ABC$ проходит плоскость $\alpha$ параллельно прямым $KL$ и $MN$.
А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $7:5$, считая от точки $A$?
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$.
Задание 16
Решите неравенство: $\frac{\log_{5}\left(x^2-4x+13\right)-\log_{5}(4x+1)}{3^{|x-4|}-3}\ge 0$.
Задание 17
Для калибровки чувствительности модуля бесконтактной оплаты (NFC) исследуется магнитное поле круговой антенны. Модуль градиента магнитной индукции $G$ (в условных единицах) на оси антенны радиуса $R=12$ мм на расстоянии $x$ (в миллиметрах) от её плоскости задаётся формулой, математически идентичной профилю калибровки магнитного датчика круговым витком:
$$G(x)=\frac{C\cdot x}{\left(R^2+x^2\right)^{5/2}},\quad x>0$$
где $C>0$ — аппаратурная константа. На каком расстоянии $x$ модуль градиента будет максимальным?
Задание 18
Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Прямая $B_1C_1$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Отрезок $AA_1$ пересекает вписанную окружность $\omega$ во второй раз в точке $Q$ ($Q\ne A_1$).
А) Докажите, что прямая $KQ$ касается окружности $\omega$.
Б) Найдите длину отрезка $KQ$, если известно, что длины сторон треугольника равны $AB = 9$, $BC = 7$ и $AC = 8$.
Задание 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$a\cdot\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)+(a^2-1)\left(x^2-4x+3\right)=\frac{|x-2|^3}{2}+4a^2-7a+1$$
имеет единственное решение.
Задание 20
Ученики 11 класса сдавали репетиционный ЕГЭ по математике. Все ученики набрали не менее 40 баллов. Среднее арифметическое баллов любых трех учеников является целым числом. Среднее арифметическое любых семи учеников также является целым числом. В классе не больше 40 учеников. Три одноклассника Петя, Саша и Коля сдавали экзамен и получили разные баллы, причем из них троих больше всех балл у Пети, а меньше всех у Коли.
А) Может ли у Саши быть 80 баллов?
Б) Может ли средний балл всего класса быть равным 43?
В) Чему равен максимально возможный целочисленный средний балл всего класса?
Ответы к варианту Ларина №548
Ответы к заданиям 1–13 тренировочного варианта Ларина №548 (часть 1). Задания 14–20 оцениваются по полному решению.
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | 9 |
| 2 | -22 |
| 3 | 1 |
| 4 | 0,5 |
| 5 | 0,428 |
| 6 | 0,5 |
| 7 | 2 |
| 8 | 6 |
| 9 | 33 |
| 10 | 0,5 |
| 11 | 55 |
| 12 | 600 |
| 13 | 8 |
Как решать вариант Ларина
- Решайте вариант целиком с таймером на 3 часа 55 минут, без подсказок и справочников (кроме справочных материалов в начале варианта).
- Сначала пройдите часть 1, затем беритесь за задания 14–20 — начните с тех, где увереннее всего.
- Сверьте ответы части 1, отметьте ошибки и разберите темы, на которых они допущены.
- Решения части 2 запишите полностью, как на экзамене, и сравните с обсуждением на форуме.
Вопросы и ответы
Когда опубликован вариант Ларина №548?
Тренировочный вариант №548 ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня Александр Ларин опубликовал 10 октября 2026 года.
Сколько заданий в варианте Ларина №548?
В варианте 20 заданий: 13 заданий с кратким ответом (часть 1) и 7 заданий с развёрнутым ответом (часть 2), как в ЕГЭ 2027.
Где ответы к варианту Ларина №548?
Ответы к заданиям 1–13 есть на этой странице: под каждым заданием и в общей таблице в конце.
Можно ли скачать вариант?
Да, оригинальный вариант в формате PDF можно открыть на странице, скачать и распечатать.
Другие варианты Ларина ЕГЭ 2027
- Вариант Ларина №543 от 5 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №544 от 12 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №545 от 19 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №546 от 26 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №547 от 3 октября 2026 года
- Вариант Ларина №549 от 17 октября 2026 года
- Вариант Ларина №550 от 24 октября 2026 года
- Вариант Ларина №551 от 31 октября 2026 года
Автор варианта — Александр Александрович Ларин. Оригинал: alexlarin.net. Материалы распространяются автором бесплатно для образовательных некоммерческих целей.