Тренировочный вариант №547 Александра Ларина по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2027 опубликован 3 октября 2026 года. На этой странице — все 20 заданий варианта текстом с формулами и чертежами, ответы к заданиям 1–13 и оригинальный файл PDF для печати.
| Вариант | Тренировочный вариант Ларина №547 |
| Дата публикации | 3 октября 2026 года |
| Предмет | математика, профильный уровень, 11 класс |
| Формат | ЕГЭ 2027: 20 заданий (13 с кратким ответом + 7 с развёрнутым), 3 часа 55 минут |
| Ответы | к заданиям 1–13 — на этой странице |
| Источник | alexlarin.net (автор — А. А. Ларин) |
Содержание:
Структура варианта Ларина №547 ЕГЭ 2027
Вариант составлен по структуре ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня и состоит из двух частей. Часть 1 — 13 заданий с кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь): планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей и статистика, уравнения, вычисления, задачи с прикладным содержанием, текстовые задачи, графики функций и финансовая задача. Часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом (14–20): уравнение, стереометрическая задача, неравенство, прикладная задача, планиметрия, задача с параметром и задача на свойства целых чисел. На выполнение всей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Варианты Александра Ларина традиционно чуть сложнее реального экзамена, поэтому они хорошо подходят для тренировки: если уверенно решаете вариант Ларина, на ЕГЭ задания покажутся знакомыми. Новый вариант автор публикует каждую субботу, а ответы — через неделю.
Вариант Ларина №547 в PDF
Оригинальный файл варианта можно посмотреть прямо на сайте, распечатать или сохранить на телефон и компьютер.
Часть 1: задания 1–13 варианта Ларина №547
Ответом к заданиям 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ спрятан под условием — сначала решите задачу сами.
Задание 1
В прямоугольнике $ABCD$ $DE \parallel AC$, $BE$ пересекает отрезки $DC$ и $AC$ в точках $F$ и $K$ соответственно, причём $DE=10$, $CK=6$. Найдите $AK$.
Показать ответ
Ответ: 16
Задание 2
На рисунке изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Точка $P$ лежит на прямой, содержащей вектор $\vec{a}$, так, что вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{BP}$. В ответе укажите сумму координат вектора $7\cdot\overrightarrow{BP}$.
Показать ответ
Ответ: -2,8
Задание 3
В пирамиде $FABC$ с вершиной $F$ и высотой $FC$ угол $ABC$ равен $150^\circ$, $CB=10$, $CF=12$. Найдите расстояние от точки $F$ до прямой $AB$.
Показать ответ
Ответ: 13
Задание 4
В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны наугад вынимают два шара, не возвращая их обратно. После этого из оставшихся шаров наугад вынимают ещё один шар. Найдите вероятность того, что этот третий шар окажется белым.
Показать ответ
Ответ: 0,375
Задание 5
В каждой из трёх урн находится 6 чёрных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечён шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлечённый из третьей урны, окажется белым.
Показать ответ
Ответ: 0,4
Задание 6
Всего выпущено 10000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.
| Выигрыш | 100 р. | 1000 р. | 5000 р. | 10000 р. | 50000 р. |
| Число выигрышных билетов | 100 | 50 | 10 | 2 | 1 |
Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.
Показать ответ
Ответ: 18
Задание 7
Решите уравнение $4^{3x^2+x}-8=2\cdot 8^{x^2+\frac{x}{3}}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.
Показать ответ
Ответ: -1
Задание 8
Найдите значение выражения, если $a=\sqrt{2};\ b=3-2\sqrt{2}$.
$$(2a-b)^2\cdot\left(\frac{a^{-1}b^{-1}}{a^{-1}+2\sqrt{2}a^{-\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}+2b^{-1}}+\frac{a^{-1}b^{-1}}{a^{-1}-2\sqrt{2}a^{-\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}+2b^{-1}}\right).$$
Показать ответ
Ответ: 6
Задание 9
На рисунке изображен график функции $y=f^{\prime}(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;\ 5)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[-5;\ 0]$.
Показать ответ
Ответ: -1
Задание 10
В новейшем масс-спектрометре, применяемом для исследования пространственной организации хроматина, тяжелые ионы разгоняются до околосветовых скоростей. Радиус кривизны траектории иона $R$ (в сантиметрах) в камере с однородным магнитным полем определяется по релятивистской формуле:
$$R=A\sqrt{\frac{c^2}{c^2-v^2}-1}$$
где $A=15$ см — постоянная прибора, зависящая от массы покоя иона, его заряда и индукции магнитного поля; $c=300000$ км/с — скорость света в вакууме; $v$ — скорость иона (в км/с). Для точной регистрации частиц на детекторе радиус траектории иона должен быть равен ровно 20 см. Найдите, до какой скорости $v$ нужно разогнать ион? Ответ выразите в км/с.
Показать ответ
Ответ: 240000
Задание 11
Три гонщика (A, затем B и потом C) стартуют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более 2 минут. Сделав три круга, гонщик A в первый раз догоняет B у точки старта, а ещё через три минуты он вторично обгоняет C. Гонщик B впервые догнал C также у точки старта, закончив четыре круга. Сколько минут тратит на круг гонщик A?
Показать ответ
Ответ: 3
Задание 12
На рисунке изображен график функции $f(x)=a\cdot\operatorname{tg}x+b$. Найдите $f(\operatorname{arctg}2)$.
Показать ответ
Ответ: 27440
Задание 13
Аристарх хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха не было денег на покупку акций, а пакет стоил 42 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40 %. Какую наименьшую сумму в рублях нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время гарантированно купить желаемый пакет акций?
Показать ответ
Ответ: 2,5
Часть 2: задания 14–20 варианта Ларина №547
В заданиях 14–20 нужно записать полное обоснованное решение и ответ. Решения задач части 2 обсуждают на форуме alexlarin.com.
Задание 14
А) Решите уравнение $\log_{2}(\sin 2x)+\log_{\frac{1}{2}}(\cos x)=\frac{1}{2}$.
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Задание 15
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник с углом $\angle ACB=120^\circ$, боковые ребра пирамиды равны и наклонены к плоскости основания под углом $\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$.
А) Докажите, что грани $ASC$ и $BSC$ наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$.
Б) Найдите двугранный угол между гранями $ASB$ и $ABC$.
Задание 16
Решите неравенство: $32\cdot 2^{x^2+3x}-\frac{2^{x^2}}{16}+1\ge 2^{3x+9}$.
Задание 17
Для защиты некастодиального аппаратного кошелька от электромагнитных атак по сторонним каналам (side-channel attacks) применяется специальный колебательный контур. Амплитуда наведенного напряжения на конденсаторе защиты при воздействии внешнего поля зависит от частоты этого поля $\omega$ (в МГц) по закону:
$$U(\omega)=\frac{U_0\cdot\omega}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\gamma^2\omega^2}}$$
Известно, что базовая резонансная частота контура $\omega_0=5$ МГц, а коэффициент затухания $\gamma=2$ МГц. При какой частоте внешнего поля $\omega$ амплитуда напряжения на конденсаторе будет максимальной?
Задание 18
В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$ и пересекают описанную около треугольника $ABC$ окружность в точках $L$ и $D$ соответственно. Известно, что угол $BAC$ в два раза больше угла $BCA$.
А) Докажите, что прямые $CO$ и $LD$ перпендикулярны.
Б) Найдите в каком отношении прямая $LD$ делит площадь треугольника $ABC$, если $\cos\angle BCA=\frac{3}{4}$.
Задание 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$$\begin{cases}\log_{2x+a}\left(x^2-4a^2+5a\right)\le 1\\ x^2+a^2=1\end{cases}$$
имеет ровно одно решение.
Задание 20
При построении дерева деривации ключей для Bitcoin-кошелька алгоритм использует генерацию последовательности натуральных чисел $a_n$. Известно, что $a_1=3,\ a_2=5$, и для любого $n\ge 2$ выполняется соотношение $a_{n+1}=\frac{a_n^2+A}{a_{n-1}}$.
А) Может ли число 100500 быть членом этой последовательности, если $A=11$?
Б) Может ли при $A=26$ значение выражения $a_{n-1}\cdot a_{n+1}+101$ быть квадратом целого числа?
В) Найдите все натуральные значения параметра $A\le 500$, при которых все члены последовательности — целые числа, а сумма первых четырех членов последовательности ($a_1+a_2+a_3+a_4$) является точным квадратом целого числа.
Ответы к варианту Ларина №547
Ответы к заданиям 1–13 тренировочного варианта Ларина №547 (часть 1). Задания 14–20 оцениваются по полному решению.
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | 16 |
| 2 | -2,8 |
| 3 | 13 |
| 4 | 0,375 |
| 5 | 0,4 |
| 6 | 18 |
| 7 | -1 |
| 8 | 6 |
| 9 | -1 |
| 10 | 240000 |
| 11 | 3 |
| 12 | 27440 |
| 13 | 2,5 |
Как решать вариант Ларина
- Решайте вариант целиком с таймером на 3 часа 55 минут, без подсказок и справочников (кроме справочных материалов в начале варианта).
- Сначала пройдите часть 1, затем беритесь за задания 14–20 — начните с тех, где увереннее всего.
- Сверьте ответы части 1, отметьте ошибки и разберите темы, на которых они допущены.
- Решения части 2 запишите полностью, как на экзамене, и сравните с обсуждением на форуме.
Вопросы и ответы
Когда опубликован вариант Ларина №547?
Тренировочный вариант №547 ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня Александр Ларин опубликовал 3 октября 2026 года.
Сколько заданий в варианте Ларина №547?
В варианте 20 заданий: 13 заданий с кратким ответом (часть 1) и 7 заданий с развёрнутым ответом (часть 2), как в ЕГЭ 2027.
Где ответы к варианту Ларина №547?
Ответы к заданиям 1–13 есть на этой странице: под каждым заданием и в общей таблице в конце.
Можно ли скачать вариант?
Да, оригинальный вариант в формате PDF можно открыть на странице, скачать и распечатать.
Другие варианты Ларина ЕГЭ 2027
- Вариант Ларина №543 от 5 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №544 от 12 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №545 от 19 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №546 от 26 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №548 от 10 октября 2026 года
- Вариант Ларина №549 от 17 октября 2026 года
- Вариант Ларина №550 от 24 октября 2026 года
- Вариант Ларина №551 от 31 октября 2026 года
Автор варианта — Александр Александрович Ларин. Оригинал: alexlarin.net. Материалы распространяются автором бесплатно для образовательных некоммерческих целей.