Тренировочный вариант №545 Александра Ларина по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2027 опубликован 19 сентября 2026 года. На этой странице — все 20 заданий варианта текстом с формулами и чертежами, ответы к заданиям 1–13 и оригинальный файл PDF для печати.
| Вариант | Тренировочный вариант Ларина №545 |
| Дата публикации | 19 сентября 2026 года |
| Предмет | математика, профильный уровень, 11 класс |
| Формат | ЕГЭ 2027: 20 заданий (13 с кратким ответом + 7 с развёрнутым), 3 часа 55 минут |
| Ответы | к заданиям 1–13 — на этой странице |
| Источник | alexlarin.net (автор — А. А. Ларин) |
Содержание:
Структура варианта Ларина №545 ЕГЭ 2027
Вариант составлен по структуре ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня и состоит из двух частей. Часть 1 — 13 заданий с кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь): планиметрия, векторы, стереометрия, теория вероятностей и статистика, уравнения, вычисления, задачи с прикладным содержанием, текстовые задачи, графики функций и финансовая задача. Часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом (14–20): уравнение, стереометрическая задача, неравенство, прикладная задача, планиметрия, задача с параметром и задача на свойства целых чисел. На выполнение всей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Варианты Александра Ларина традиционно чуть сложнее реального экзамена, поэтому они хорошо подходят для тренировки: если уверенно решаете вариант Ларина, на ЕГЭ задания покажутся знакомыми. Новый вариант автор публикует каждую субботу, а ответы — через неделю.
Вариант Ларина №545 в PDF
Оригинальный файл варианта можно посмотреть прямо на сайте, распечатать или сохранить на телефон и компьютер.
Часть 1: задания 1–13 варианта Ларина №545
Ответом к заданиям 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ спрятан под условием — сначала решите задачу сами.
Задание 1
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ и катетом $AC=8$ на катете $AB$ отмечена точка $E$, а на гипотенузе $BC$ – точка $D$ так, что $BE=6$, $BD=2DC$. Найдите площадь треугольника $EDC$.
Показать ответ
Ответ: 8
Задание 2
В плоскости заданы два вектора: $\vec{a}(3;1)$ и $\vec{b}(1;3)$. Известно, что векторы $\vec{u}=k\cdot\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{v}=\vec{a}-k\cdot\vec{b}$ перпендикулярны. Найдите квадрат модуля вектора $\vec{u}$ при положительном значении $k$.
Показать ответ
Ответ: 32
Задание 3
В основании пирамиды $SABCDEF$ с высотой $SB$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$, $BS=AB$. Найдите угол $SFB$.
Показать ответ
Ответ: 30
Задание 4
В кармане у Пети лежит 10 монет: 6 монет по 10 рублей и 4 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, перекладывает 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что сумма монет в другом кармане окажется меньше 25 рублей. Ответ округлите до тысячных.
Показать ответ
Ответ: 0,333
Задание 5
Редакция крупного научного журнала использует автоматический фильтр, чтобы выявлять статьи, сгенерированные нейросетью. Известно, что 30% всех присылаемых авторами статей пишутся с помощью ИИ. Если статья действительно написана человеком, фильтр ошибочно помечает её как «сгенерированную ИИ» с вероятностью $0{,}1$. Если статья сгенерирована нейросетью, фильтр успешно распознает её и отправляет в бан с вероятностью $0{,}8$. Инженер загрузил в систему одну из присланных статей, и фильтр выдал вердикт: «Статья сгенерирована ИИ». Найдите вероятность того, что эту статью на самом деле написал человек. Результат округлите до десятых.
Показать ответ
Ответ: 0,2
Задание 6
Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}8$. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — числа попаданий, при условии, что последний выстрел был точным (это условие уже выполнено).
Показать ответ
Ответ: 4,2
Задание 7
Решите уравнение $4\log_{25}(5x)=5-\log_{5}^{2}x$. Если корней несколько, в ответе укажите больший из них.
Показать ответ
Ответ: 5
Задание 8
Найдите значение выражения:
$$\frac{2\log_{2}5\cdot\log_{5}8-3^{\log_{9}16}}{\log_{7}14-\frac{1}{2}\log_{7}28}.$$
Показать ответ
Ответ: 4
Задание 9
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента имеет вид:
$$T(t)=T_0+at+bt^2+\frac{c}{\pi}\sin(\pi t)$$
где $a,b$ и $c$ — константы, $t$ — время в минутах. Известно, что при $t=1$ производная равна нулю, а температура равна $400\ K$, при $t=3$ производная равна нулю, а $T(0)=300\ K$. Найдите $c$.
Показать ответ
Ответ: 100
Задание 10
В секретной подземной лаборатории тестируют квантовый ускоритель частиц. Давление газа (в паскалях) внутри камеры охлаждения во время разгона зависит от времени работы по зубодробительному закону:
$$p(t)=p_0\cdot\left(\sqrt{3}\right)^{\log_{t^2+3}(12t^2+36)\cdot\log_{12}(t^2+3)}$$
где $p_0=1{,}5\cdot10^5$ Па — начальное давление, $t$ — время работы установки в минутах. Эксперимент необходимо прекратить, когда давление внутри камеры вырастет до критической отметки $4{,}5\cdot10^5$ Па, иначе произойдет микровзрыв. Определите максимальное время (в минутах) после начала эксперимента, когда его еще можно безопасно остановить.
Показать ответ
Ответ: 3
Задание 11
Два профессиональных пилота, Алекс и Никита, тестируют гоночные катера на реке. Изначально скорость течения реки равна 3 км/ч. Трасса проложена по прямой от пирса $A$ до пирса $B$, расстояние между которыми составляет 60 км. Алекс стартует из пункта $A$ по течению, доходит до $B$, мгновенно разворачивается и идет обратно к $A$. Никита стартует из пункта $A$ по течению на 1 позже Алекса. В тот самый момент, когда Алекс достигает пирса $B$, погода резко портится, и скорость течения реки во всем русле мгновенно увеличивается до 5 км/ч. Дойдя до пирса $B$, Никита обнаруживает проблему с мотором. Он теряет ровно $10/11$ часа на пирсе $B$ на экстренный ремонт, а его собственная скорость на обратном пути (против нового течения) из-за этой поломки снижается на 7 км/ч. На своем обратном пути Алекс встречает Никиту (который к тому моменту еще только идет вперед к пирсу $B$ в точке, находящейся на расстоянии 40 км от стартового пирса $A$. Никита, несмотря на все беды, завершает квест и возвращается к пирсу $A$ ровно на 12 часов позже, чем туда вернулся Алекс. Найдите исходную собственную скорость катера Никиты (до поломки) в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 17
Задание 12
На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{kx+a}{x+b}$. Решите уравнение $f(x)=8$.
Показать ответ
Ответ: 0
Задание 13
В июле 2027 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 1 млн рублей. Условия:
— каждый год, начиная с 2028 года, в январе долг увеличивается на 10% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле долг должен быть на 200 тысяч рублей меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько процентов общая сумма выплат в 2029 и 2030 годах больше общей суммы выплат в 2028 и 2031 годах ?
Показать ответ
Ответ: 2,5
Часть 2: задания 14–20 варианта Ларина №545
В заданиях 14–20 нужно записать полное обоснованное решение и ответ. Решения задач части 2 обсуждают на форуме alexlarin.com.
Задание 14
А) Решите уравнение $\sin 3x-2\sin 18x\cdot\sin x=3\sqrt{2}-\cos 3x+2\cos x$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;\ -\frac{\pi}{2}\right]$
Задание 15
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB=AC=4$, $SA=3$ – высота пирамиды, $SB=5$, $BC=2\sqrt{5}$. Через вершину $A$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SC$.
А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит объем пирамиды $SABC$ в отношении $27:98$.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
Задание 16
Решите неравенство:
$$\frac{\sqrt{8+2x-x^2}-x-2}{\log_{3}(x+4)-1}\ge 0$$
Задание 17
Скорость прохождения скальной породы $v$ (в метрах в час) напрямую зависит от пиковой температуры плазменного факела $T$ (в кельвинах):
$$v(T)=v_0\sqrt{\left(\frac{T}{1000}\right)^3-3\left(\frac{T}{1000}\right)+4}$$
где $v_0=2$ м/ч — базовый коэффициент установки. В свою очередь, температура факела регулируется углом наклона магнитных линз $\alpha$ (в радианах, $\alpha\in\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]$) по формуле циклического теплообмена:
$$T(\alpha)=1000\cdot\left(1+\frac{3}{6-2\cos(4\alpha)}\right)$$
Инженерам необходимо выставить такой угол наклона линз $\alpha$, при котором скорость бурения $v$ будет минимальной (чтобы безопасно пройти слой нестабильного гранита), но при этом плазма не должна гаснуть (для этого температура $T$ должна строго превышать 1000 К). Найдите этот угол $\alpha$. Ответ дайте в градусах.
Задание 18
Окружность с центром в точке $O$ на гипотенузе $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается катета $AB$ в точке $M$, а катета $BC$ – в точке $K$ и пересекает отрезок $AO$ в точке $N$. Известно, что $AN:MN=6:1$.
А) Докажите, что $KC:OC=1:9$
Б) Найдите $AC$, если $AM=\frac{20}{9}$.
Задание 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left(25^x-(a+3)\cdot5^x+3a\right)\cdot\sqrt{2\cos x-1}=0$$
имеет ровно четыре различных корня на отрезке $[-\pi;\ \pi]$.
Задание 20
Популярный стример Макс проводит праздничный марафон. На стрим зашли несколько зрителей. Среди них есть обычные зрители (каждый задонатил целое число рублей от 100 до 400 включительно) и VIP-зрители (каждый задонатил целое число рублей от 500 до 700 включительно). Изначально средний размер доната среди всех зрителей составил ровно 400 рублей. Затем Макс объявил розыгрыш, и часть зрителей ушла со стрима. При этом средний донат среди оставшихся зрителей вырос и составил ровно 500 рублей, а средний донат среди ушедших зрителей составил ровно 250 рублей.
А) Могло ли изначально на стриме быть 15 зрителей, если среди них было ровно 10 VIP-зрителей?
Б) Могло ли получиться так, что после розыгрыша на стриме осталось ровно 4 зрителя?
В) Какое наибольшее количество зрителей могло изначально быть на стриме, если известно, что среди оставшихся участников был ровно один VIP-зритель?
Ответы к варианту Ларина №545
Ответы к заданиям 1–13 тренировочного варианта Ларина №545 (часть 1). Задания 14–20 оцениваются по полному решению.
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 32 |
| 3 | 30 |
| 4 | 0,333 |
| 5 | 0,2 |
| 6 | 4,2 |
| 7 | 5 |
| 8 | 4 |
| 9 | 100 |
| 10 | 3 |
| 11 | 17 |
| 12 | 0 |
| 13 | 2,5 |
Как решать вариант Ларина
- Решайте вариант целиком с таймером на 3 часа 55 минут, без подсказок и справочников (кроме справочных материалов в начале варианта).
- Сначала пройдите часть 1, затем беритесь за задания 14–20 — начните с тех, где увереннее всего.
- Сверьте ответы части 1, отметьте ошибки и разберите темы, на которых они допущены.
- Решения части 2 запишите полностью, как на экзамене, и сравните с обсуждением на форуме.
Вопросы и ответы
Когда опубликован вариант Ларина №545?
Тренировочный вариант №545 ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня Александр Ларин опубликовал 19 сентября 2026 года.
Сколько заданий в варианте Ларина №545?
В варианте 20 заданий: 13 заданий с кратким ответом (часть 1) и 7 заданий с развёрнутым ответом (часть 2), как в ЕГЭ 2027.
Где ответы к варианту Ларина №545?
Ответы к заданиям 1–13 есть на этой странице: под каждым заданием и в общей таблице в конце.
Можно ли скачать вариант?
Да, оригинальный вариант в формате PDF можно открыть на странице, скачать и распечатать.
Другие варианты Ларина ЕГЭ 2027
- Вариант Ларина №543 от 5 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №544 от 12 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №546 от 26 сентября 2026 года
- Вариант Ларина №547 от 3 октября 2026 года
- Вариант Ларина №548 от 10 октября 2026 года
- Вариант Ларина №549 от 17 октября 2026 года
- Вариант Ларина №550 от 24 октября 2026 года
- Вариант Ларина №551 от 31 октября 2026 года
Автор варианта — Александр Александрович Ларин. Оригинал: alexlarin.net. Материалы распространяются автором бесплатно для образовательных некоммерческих целей.