Тренировочные варианты ЕГЭ 2027 по математике профиль 11 класс школа Пифагора: 9 вариантов с ответами и видеоразбором

В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $104^\circ$, угол $CAD$ равен $5^\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}\,(41;0)$ и $\vec{b}\,(1;-1)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-20\vec{b}$.

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения

$$(6x-13)^2=(6x-11)^2.$$

Найдите значение выражения

$$\left(5^4\right)^6:5^{22}.$$

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены семь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат:

ось $Oy$ направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось $Ox$ направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой

$$y=0{,}0043x^2-0{,}74x+35,$$

где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=kx+b$. Найдите значение $f(7)$.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

В треугольнике $ABC$ $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $94^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}\,(-13;4)$ и $\vec{b}\,(-6;1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A$.

Найдите корень уравнения

$$7^{-6-x}=343.$$

Найдите значение выражения

$$4\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}.$$

На рисунке изображён график $y=f^{\prime}(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечены шесть точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$?

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения $P$ (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: $P=\sigma ST^4$, где $\sigma=5{,}7\cdot 10^{-8}$ — постоянная, площадь поверхности $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$ — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $S=\frac{1}{18}\cdot 10^{21}$ м², а излучаемая ею мощность $P$ равна $4{,}104\cdot 10^{27}$ Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

Моторная лодка прошла против течения реки 187 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$. Найдите значение $f(-2)$.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=13$, $BC=7$ и $AD=11$. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Даны векторы $\vec{a}\,(1;2)$, $\vec{b}\,(-3;6)$ и $\vec{c}\,(4;-2)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=7$, $AD=3$, $AA_1=4$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C_1$.

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?

Найдите корень уравнения

$$(x+9)^2=36x.$$

Найдите значение выражения

$$\log_7 12{,}25+\log_7 4.$$

На рисунке изображён график $y=f^{\prime}(x)$ — производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-9;2)$. В какой точке отрезка $[-8;-4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч²). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 км, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\frac{k}{x}$. Найдите значение $f(10)$.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год – 240 000 рублей.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $66^\circ$. Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $10\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

В таблице показано распределение случайной величины $X$. Найдите $EX$ — математическое ожидание этой случайной величины.

Найдите корень уравнения

$$3^{2x-16}=\frac{1}{81}.$$

Найдите значение выражения

$$21\sqrt{6}\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4}.$$

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

К источнику с ЭДС $\varepsilon=180$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

Заказ на 176 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 5 деталей больше, чем второй?

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}$. Найдите $f(2{,}56)$.

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=22$, $CD=17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+4\vec{b}$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $D$, $A_1$, $B$, $C$, $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=3$, $AD=4$, $AA_1=5$.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт $S$, с которым связана случайная величина $X$. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины $X$.

Найдите вероятность события $(X=9)$.

Найдите корень уравнения

$$(x+3)^9=512.$$

Найдите значение выражения

$$\left(\sqrt{12}-\sqrt{75}\right)\cdot\sqrt{12}.$$

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$, где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega=50$ град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=4\ \text{град./мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2500^\circ$. Ответ дайте в минутах.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 971,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\0{,}3&0{,}1&0{,}6\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения

$$36^{x-5}=\frac{1}{6}.$$

Найдите значение выражения

$$12\sqrt{2}\cos(-225^\circ).$$

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Один мастер может выполнить заказ за 30 часов, а другой – за 15 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(3)$.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

Даны векторы $\vec{a}\,(3;4)$ и $\vec{b}\,(-4;-3)$. Найдите косинус угла между ними.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт $S$, с которым связана случайная величина $X$. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины $X$.

Найдите вероятность события $(X=5)$.

Найдите корень уравнения

$$\frac{1}{3x-1}=5.$$

Найдите значение выражения

$$\log_2 240-\log_2 3{,}75.$$

На рисунке изображён график $y=f^{\prime}(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ x_5,\ x_6,\ x_7,\ x_8,\ x_9$. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$?

Два тела, массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=8$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=mv^2\sin^2\alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 32 Дж. Ответ дайте в градусах.

Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=ax^2+bx+c$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

– к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Даны векторы $\vec{a}\,(5;2)$ и $\vec{b}\,(3;-6)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}-\vec{b}$ и $5\vec{a}-\vec{b}$.

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0 & 3\\ 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6}=8^x.$$

Найдите значение выражения

$$\frac{16\sin 98^\circ\cdot\cos 98^\circ}{\sin 196^\circ}.$$

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-1,\ 2,\ 3,\ 4$. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=170$ Гц – частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=2$ м/с и $v=17$ м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.

Моторная лодка прошла против течения реки 252 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_a x$. Найдите значение $f(8)$.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на $15\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма выплат составит 930 тыс. рублей?

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}\,(41;0)$ и $\vec{b}\,(1;-1)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-20\vec{b}$.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите дисперсию случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X\sim\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения

$$\sqrt{28-2x}=2.$$

Найдите значение выражения

$$4^{\frac{1}{5}}\cdot 16^{\frac{9}{10}}.$$

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;13)$. Определите количество точек, в которых касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=14$.

Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задаётся формулой $q=120-10p$. Выручка предприятия за месяц $r$ (тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p)=pq$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-12)$.

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 10% меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 13626 тыс. рублей. Найдите $r$.