Ответы и авторские решения на все задания для 11 класса онлайн олимпиада по математике 26, 27, 28 сентября 2026 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области Взлёт всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2026
Многочлен P(x) = (2x² − 2x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 1; 2) 3281
1.2 Многочлен P(x) = (x² − 2x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 6561; 2) 3281
1.3 Многочлен P(x) = (2x² − x − 3)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 256; 2) 128
1.4 Многочлен P(x) = (2x² − x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 1; 2) 1
1.5 Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 0; 2) 128
2. Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 1, а площадь треугольника BMC′ равна 2.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 2; 2) 12
2.2 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 2, а площадь треугольника BMC′ равна 4.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 4; 2) 24
2.3 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 3, а площадь треугольника BMC′ равна 6.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 6; 2) 36
2.4 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 4, а площадь треугольника BMC′ равна 8.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 8; 2) 48
2.5 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5, а площадь треугольника BMC′ равна 10.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 10; 2) 60
3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.2 Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4) · sin(x − 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.3 Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.4 Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.5 Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 28 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 3; 2) 1015
4.2 В одном очень дружном классе, состоящем из 23 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 7; 2) 610
4.3 В одном очень дружном классе, состоящем из 22 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 6; 2) 610
4.4 В одном очень дружном классе, состоящем из 30 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 5; 2) 1015
4.5 В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 8; 2) 610
5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 5. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 60
5.2 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 3. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 36
5.3 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 2. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 24
5.4 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 1. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 12
5.5 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 48
6. Последовательность
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.2 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/7, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.3 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/10, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.4 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/13, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.5 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из семёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не семёрка, а все остальные – семёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.2 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из четвёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не четвёрка, а все остальные – четвёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.3 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из двоек. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не двойка, а все остальные – двойки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.4 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из единиц. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не единица, а все остальные – единицы.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.5 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
8. Рожки
Семеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.2 Восемь ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.3 Шестеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.4 Девять ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.5 Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
→ Посмотреть все задания и ответы