Ответы и авторские решения на все задания для 10 класса онлайн олимпиада по математике 26, 27, 28 сентября 2026 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области Взлёт всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00.
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2026
1. Площадь трапеции
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 7, а боковая сторона PT равна 5. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 26,25
1.2 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 107,25
1.3 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 9. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 74,25
1.4 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 107,25
1.5 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 57,75
2. Многочлен
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 0
2.2 Многочлен P(x) = (x² − 4x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 729; 2) 0
2.3 Многочлен P(x) = (x² − 3x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 729; 2) 1
2.4 Многочлен P(x) = (x² − 2x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 1
2.5 Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
1. Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 0
3. Натуральные делители
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 48
3.2 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 14 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 192
3.3 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 16 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 120
3.4 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 48
3.5 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 180
4. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,648
4.2 Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,3 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,784
4.3 Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно три»?
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно три?
Ответ: 1) 6; 2) 0,5625
4.4 Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 1; 2) 0,216
4.5 Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,5
5. Трафик
В стране 16 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 24; 2) 9
5.2 В стране 24 города, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 36; 2) 13
5.3 В стране 14 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 4 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 28; 2) 15
5.4 В стране 12 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 5 дорог. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 30; 2) 19
5.5 В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 30; 2) 11
6. Раскраска прямоугольника
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.2 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 5×5 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.3 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 6×6 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.4 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 7×7 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.5 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 8×8 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
7. Фонари на шоссе
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2350 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.2 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 1950 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.3 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2270 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.4 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2110 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.5 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
8. Лестница
Лестница на чердак состоит из 8 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.2 Лестница на чердак состоит из 9 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.3 Лестница на чердак состоит из 11 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.4 Лестница на чердак состоит из 12 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.5 Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
→ Посмотреть все задания и ответы