Ответы и авторские решения на все задания для 9 класса онлайн олимпиада по математике 26, 27, 28 сентября 2026 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области Взлёт всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00.
Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2026
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 40
1.2 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 10% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
1.3 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 80
1.4 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 40% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 75
1.5 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 20% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 20% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
2. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 100°, угол BOC равен 70°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 25
2.2 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 120°, угол BOC равен 90°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 15
2.3 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 110°, угол BOC равен 80°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 20
2.4 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 115°, угол BOC равен 80°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 15
2.5 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 108°, угол BOC равен 90°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 27
3. Раскраска полосы
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×11 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 24
3.2 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×10 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 22
3.3 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×9 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 20
3.4 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×7 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 16
3.5 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×8 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 18
4. Разбиение четырёхугольника
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 12 см², 24 см² и 36 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 98
4.2 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 10 см² и 15 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 38
4.3 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 4 см², 6 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 28
4.4 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 8 см², 10 см² и 20 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 45
4.5 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 29
5. Разность квадратов
Число 3969 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 3969 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 1985; 3) 16
5.2 Число 5625 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 5625 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 2813; 3) 40
5.3 Число 9801 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 9801 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 4901; 3) 20
5.4 Число 2025 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 2025 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 1013; 3) 24
5.5 Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 10805; 3) 140
6. Дружный класс
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 25 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.2 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 36 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.3 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 49 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.4 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 64 ученика дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.5 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 16 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
7. Число в квадрате
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 2 | 9 | 4 |
| 7 | 1 | 8 |
| 6 | 3 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.2 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 1 | 7 | 2 |
| 9 | 3 | 8 |
| 4 | 6 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.3 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 1 | 8 | 3 |
| 6 | 4 | 9 |
| 5 | 2 | 7 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.4 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 7 | 9 | 2 |
| 4 | 1 | 6 |
| 3 | 8 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.5 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 2 | 9 | 7 |
| 4 | 1 | 6 |
| 3 | 8 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
8. Физики и математики
Алексей Викторович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 10 учеников, а физику – 12. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
8.2 Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 25 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 15 учеников, а физику – только 12. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
8.3 Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 12 учеников, а физику – только 10. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
→ Посмотреть все задания и ответы