Ответы и авторские решения на все задания для 8 класса онлайн олимпиада по математике 26, 27, 28 сентября 2026 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области Взлёт всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00.
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2026
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 18; 2) 27; 3) 10
1.2 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 16; 2) 24; 3) 9
1.3 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 14; 2) 21; 3) 8
1.4 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 12; 2) 18; 3) 7
1.5 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 20; 2) 30; 3) 11
2. Сумма отрезков
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 35; 2) 70
2.2 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 72°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 36; 2) 72
2.3 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 33; 2) 66
2.4 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 84°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 32; 2) 64
2.5 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 34; 2) 68
3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 3,75
3.2 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 7,5
3.3 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 1,875
3.4 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 15
3.5 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 2,5
4. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 99; 2) 4951
4.2 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 98; 2) 4852
4.3 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 59; 2) 1771
4.4 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 74; 2) 2776
4.5 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 49; 2) 1226
5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, – за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 15; 2) 4
5.2 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, – за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 35; 2) 6
5.3 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, – за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 63; 2) 8
5.4 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 24; 2) 5
5.5 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 6; 2) 2
6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.2 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.3 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.4 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.5 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
7. Фестиваль
На фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.2 На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.3 На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.4 На фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.5 На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 2 до 9.
Варианты: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.2 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.3 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.4 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 12 до 18.
Варианты: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.5 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
→ Посмотреть все задания и ответы