Олимпиада по математике 4-11 класс 15 октября 2026 Сириус ответы и задания школьный этап 2026

Ответы и авторские решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса онлайн олимпиада Сириус по математике 15 октября 2026 школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2 и 4 группа всего в олимпиаде 8 заданий ВСОШ приступить к прохождению не позднее 19:00.

Олимпиада по математике 4 класс Сириус школьный этап 2026

В каждый из одиннадцати дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 16

№1.2

В каждый из девяти дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 13

№1.3

В каждый из тринадцати дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 19

№1.4

В каждый из семи дней недели Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 10

№2

В тетради записано четырёхзначное число 2357. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9875

№2.2

В тетради записано четырёхзначное число 1358. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9864

№2.3

В тетради записано четырёхзначное число 1347. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 8754

№2.4

В тетради записано четырёхзначное число 2347. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9765

№3

Мария набрала на компьютере строку, в которой много раз повторяется слово «математик». Затем между каждыми соседними словами она набрала одну букву «Ф». Первые символы получившейся строки выглядят следующим образом:

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 101-я буква «а»?

Ответ: 502

№3.2

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 107-я буква «а»?

Ответ: 532

№3.3

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 105-я буква «а»?

Ответ: 522

№3.4

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 103-я буква «а»?

Ответ: 512

№4

Даны три листа бумаги: первый — размером 13 × 22, второй — 10 × 15, третий — 8 × 14. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 484

№4.2

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 21, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 441

№4.3

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 18, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 324

№4.4

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 19, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 361

№5

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 153 жителя острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно семнадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно шестнадцать рыцарей. Трое — ровно пятнадцать рыцарей и т. д. Наконец, 17 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 9

№5.2

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 66 жителей острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно одиннадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно десять рыцарей. Трое — ровно девять рыцарей и т. д. Наконец, 11 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 6

№5.3

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришёл 91 житель острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно тринадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно двенадцать рыцарей. Трое — ровно одиннадцать рыцарей и т. д. Наконец, 13 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 7

№5.4

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 120 жителей острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно пятнадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно четырнадцать рыцарей. Трое — ровно тринадцать рыцарей и т. д. Наконец, 15 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 8

№6

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 4 грамма, третья — 10 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

1 г
5 г
7 г
13 г
17 г

→ Посмотреть ответ

№6.2

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 11 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

1 г
7 г
9 г
13 г
16 г

№6.3

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 10 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

1 г
6 г
8 г
12 г
15 г

№6.4

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 9 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

1 г
5 г
7 г
11 г
14 г

→ Посмотреть ответ

№7

В математический лагерь приехали 13 девочек, среди которых четыре пары сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы и Андреевы. Для них подготовили один трёхместный и пять двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

№7.2

В математический лагерь приехали 11 девочек, среди которых три пары сестёр: Ивановы, Петровы и Сидоровы. Для них подготовили один трёхместный и четыре двухместных номера. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

№7.3

В математический лагерь приехали 15 девочек, среди которых пять пар сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы, Андреевы и Кочкаровы. Для них подготовили один трёхместный и шесть двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

№7.4

В математический лагерь приехали 17 девочек, среди которых шесть пар сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы, Андреевы, Кочкаровы и Аникеевы. Для них подготовили один трёхместный и семь двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

→ Посмотреть ответ

№8

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 289, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

олимпиада по математике 4 класс сириус школьный этап 15 октября 2026

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

№8.2

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 441, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

№8.3

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 361, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

№8.4

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 225, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 5 класс Сириус школьный этап 2026

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 19 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 171 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 40; 72; 59

№1.2

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 19 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 151 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 35; 62; 54

№1.3

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 18 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 161 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 38; 67; 56

№1.4

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 18 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 181 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 43; 77; 61

№2

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 13 кг, второй группы — 12 кг.

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

Ответ: 3; 5 — на первый вопрос; 8 — на второй вопрос

№2.2

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 15 кг, второй группы — 15 кг.

Рисунок к №2.2

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

Ответ: 4; 5 — на первый вопрос; 9 — на второй вопрос

№2.3

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 11 кг, второй группы — 10 кг.

Рисунок к №2.3

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

Ответ: 2; 4 — на первый вопрос; 6 — на второй вопрос

№2.4

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 9 кг, второй группы — 8 кг.

Рисунок к №2.4

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

Ответ: 1; 3 — на первый вопрос; 4 — на второй вопрос

№3

У Маши есть прозрачная плёнка и чёрный маркер. Она начертила на плёнке таблицу 6 × 6 и в середине каждой её клетки нарисовала кружок одного из трёх размеров: большой, маленький или средний. После этого Маша сложила плёнку пополам по вертикали и горизонтали и получила результат, показанный на рисунке.

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 18

№3.2

Рисунок к №3.2

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 24

№3.3

Рисунок к №3.3

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 21

№3.4

Рисунок к №3.4

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 17

№4

На острове живут 105 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько рыцарей на острове?

Ответ: 70

№4.2

На острове живут 99 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько лжецов на острове?

Ответ: 33

№4.3

Ответ: 35

№4.4

Ответ: 66

№5

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Расстановку фигур, указанную на рисунке, будем называть исходной. Каждую фигуру можно переставить (необязательно по шахматным правилам) только в те клетки, в которых сумма номера строки и номера столбца такая же, как в исходной позиции для данной фигуры. Сколько существует способов переставить три указанные фигуры с учётом описанных ограничений? Позицию, указанную на рисунке, тоже необходимо учесть при подсчёте.

Ответ: 126

№5.2

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Ответ: 150

№5.3

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Ответ: 140

№5.4

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Ответ: 84

№6

На 15 карточках написаны числа от 1 до 15 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 35. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 63. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 6. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

→ Посмотреть ответ

№6.2

На 15 карточках написаны числа от 1 до 15 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 36. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 71. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 4. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

→ Посмотреть ответ

№6.3

На 14 карточках написаны числа от 1 до 14 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 35. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 59. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 3. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

→ Посмотреть ответ

№6.4

На 14 карточках написаны числа от 1 до 14 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 36. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 54. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 4. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

→ Посмотреть ответ

№7

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 396 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

№7.2

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 308 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

№7.3

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 264 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

№7.4

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 352 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

→ Посмотреть ответ

№8

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 1, на втором — больше 2 и т. д. Например, пароль 23456 является корректным, а 24356 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

Видно только последнюю введённую цифру, остальные заменяются символом *. Сколько возможных вариантов пароля хакеру нужно перебрать в худшем случае, чтобы подобрать нужный?

№8.2

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 2, на втором — больше 3 и т. д. Например, пароль 34578 является корректным, а 35476 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

№8.3

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра не меньше 1, на втором — не меньше 2 и т. д. Например, пароль 13578 является корректным, а 21476 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

№8.4

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 1, на втором — больше 2 и т. д. Например, пароль 23476 является корректным, а 24376 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 6 класс Сириус школьный этап 2026

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Девять участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 15

№1.2

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Семь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 13

№1.3

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Восемь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 14

№1.4

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Шесть участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 12

№2

У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 164

№2.2

У Вани есть деревянный брусок размером 15 × 15 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 136

№2.3

У Вани есть деревянный брусок размером 16 × 16 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 148

№2.4

У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 160

№3

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 140 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 70 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 70 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 70; 71

№3.2

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 100 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 50 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 50 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 50; 51

№3.3

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 120 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 60 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 60 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 60; 61

№3.4

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 160 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 80 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 80 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 80; 81

№4

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 5, 9 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 10

№4.2

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 7, 3, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 7

№4.3

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 8

№4.4

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 9, 5, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 9

№5

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 16 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 45

№5.2

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 10 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 39

№5.3

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 24 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее трёх раз весы показали число 3. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 53

№5.4

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 12 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 41

№6

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1121 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

→ Посмотреть ответ

№6.2

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1401 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

→ Посмотреть ответ

№6.3

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1249 муравьёв: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

→ Посмотреть ответ

№6.4

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1001 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

→ Посмотреть ответ

№7

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

олимпиада по математике 6 класс сириус школьный этап 15 октября 2026

Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа на обозначенном стрелкой на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

№7.2

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

№7.3

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

№7.4

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

→ Посмотреть ответ

№8

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

№8.2

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

№8.3

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

№8.4

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 7 класс Сириус школьный этап 2026

№1

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

Дима из Новосибирска спрятался вместе с Аней;
в шкафу спрятались ровно двое детей;
хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
Ева была не одна;
мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

Дима
Костя
Ева
Аня
Маша

Ответ: Костя; Ева

№1.2

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

Костя из Новосибирска спрятался вместе с Аней;
в шкафу спрятались ровно двое детей;
хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
Ева была не одна;
мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

Костя
Ева
Дима
Маша
Аня

Ответ: Дима; Ева

№1.3

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

Дима из Новосибирска спрятался вместе с Евой;
в шкафу спрятались ровно двое детей;
хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
Аня была не одна;
мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

Дима
Аня
Ева
Маша
Костя

Ответ: Костя; Аня

№1.4

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

Костя из Новосибирска спрятался вместе с Евой;
в шкафу спрятались ровно двое детей;
хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
Аня была не одна;
мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

Ева
Костя
Аня
Дима
Маша

Ответ: Дима; Аня

№2

У Пети есть числа 5, 6, 7, 8, 9. Он сложил три из них и вычел из полученного результата сумму двух других. Какие числа он мог получить? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: 1; 7; 13

№2.2

Ответ: 3; 7; 11

№2.3

Ответ: 3; 5; 11

№2.4

Ответ: 3; 5; 13

№3

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 650 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 38 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 79; 492

№3.2

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 680 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 39 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 82; 516

№3.3

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 640 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 26 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 68; 504

№3.4

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 630 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 35 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 75; 480

№4

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 4 раза больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 4 раза больше, чем площадь красного квадрата.

олимпиада по математике 7 класс сириус школьный этап 15 октября 2026

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 5

№4.2

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 5 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 5 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 6

№4.3

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 6 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 6 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 7

№4.4

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 7 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 7 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 8

№5

Имеются 3 игральных кубика: красный, жёлтый и зелёный, на грани которых нанесены цифры от 1 до 6. Подбросив 3 кубика, мы получаем трёхзначное число, в котором цифра сотен — это цифра, выпавшая на красном кубике, цифра десятков — на жёлтом и цифра единиц — на зелёном. Подбросив кубики по 2 раза, мы получаем два трёхзначных числа. Оказалось, что разность этих чисел равна 548.

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наибольшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 4; 780

№5.2

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наибольшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 3; 779

№5.3

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наименьшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 3; 775

№5.4

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наименьшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 4; 774

№6

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 5 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 1200

№6.2

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 20 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 300

№6.3

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 25 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 240

№6.4

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 10 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 600

№7

Квадрат ABCD со стороной 14 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 5 раз меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.

→ Посмотреть ответ

№7.2

Квадрат ABCD со стороной 12 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 4 раза меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

№7.3

Квадрат ABCD со стороной 10 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 5 раз меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

№7.4

Квадрат ABCD со стороной 8 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 4 раза меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

→ Посмотреть ответ

№8

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 10 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

№8.2

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 6 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

№8.3

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 28 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

№8.4

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 18 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 8 класс Сириус школьный этап 2026

№1

Если взять 8 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 9 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наименьшее значение X.

Ответ: 106

№1.2

Если взять 7 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 8 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наибольшее значение X.

Ответ: 135

№1.3

Ответ: 118

№1.4

Ответ: 119

№2

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 11, а сумма квадратов составляет 42?

Ответ: -8

№2.2

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 5, а сумма квадратов составляет 39?

Ответ: -7

№2.3

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 15, а сумма квадратов составляет 51?

Ответ: -9

№2.4

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 14, а сумма квадратов составляет 72?

Ответ: -10

№3

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 26 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 12 шоколадок. Хорошистов в классе больше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 16; 9

№3.2

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 22 ученика окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 10 шоколадок. Троечников в классе меньше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 12; 9

№3.3

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 27 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 12 шоколадок. Троечников в классе меньше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 14; 12

№3.4

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 29 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по полшоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 13 шоколадок. Хорошистов в классе больше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 16; 12

№4

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 101 до 199 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 254

№4.2

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 102 до 200 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 453

№4.3

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 90 до 188 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 417

№4.4

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 100 до 198 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 447

№5

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,2 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 150 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 1,5 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 390

№5.2

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,1 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1600/3

№5.3

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,3 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1900/3

№5.4

Алла ходит по прямой набережной длиной 1 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1400/3

№6

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 207 и 413. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 411

№6.2

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 217 и 422. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 431

№6.3

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 232 и 411. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 461

№6.4

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 227 и 411. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 451

№7

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 858, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

→ Посмотреть ответ

№7.2

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 786, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

№7.3

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 714, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

№7.4

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 912, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

→ Посмотреть ответ

№8

Маша нарисовала треугольник MNP и провела в нём биссектрису PK. В каждом из треугольников MPK и NPK она ещё провела по одной медиане, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

№8.2

Маша нарисовала треугольник DEF и провела в нём медиану EM. В каждом из треугольников DEM и MEF она провела по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

№8.3

Маша нарисовала треугольник PQR и провела в нём биссектрису PM. В каждом из треугольников QPM и RPM она провела ещё по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

№8.4

Маша нарисовала треугольник ABC и провела в нём медиану BK. В каждом из треугольников ABK и CBK она провела ещё по одной медиане, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 9 класс Сириус школьный этап 2026

№1

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 7/4 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 11/5

№1.2

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 14/9 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 17/9

№1.3

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 12/7 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 15/7

№1.4

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 11/6 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 7/3

№2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 6 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 3

№2.2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 6 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 3/2

№2.3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 15 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 6

№2.4

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 2

№3

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 25.

Ответ: 256

№3.2

Ответ: 784

№3.3

Ответ: 576

№3.4

Ответ: 324

№4

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, √73 и 3 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 64

№4.2

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √34 и 5 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 54

№4.3

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, 3√5 и 3 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 40

№4.4

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √89 и 5 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 192

№5

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 20/81 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 9/5; 9/4

№5.2

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 6/25 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 5/3; 5/2

№5.3

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 12/49 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 7/4; 7/3

№5.4

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 2/9 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3/2; 3

№6

Дана клетчатая доска 102 × 105, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

→ Посмотреть ответ

№6.2

Дана клетчатая доска 101 × 102, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

→ Посмотреть ответ

№6.3

Дана клетчатая доска 103 × 101, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

→ Посмотреть ответ

№6.4

Дана клетчатая доска 101 × 104, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

→ Посмотреть ответ

№7

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 6.

№7.2

№7.3

№7.4

→ Посмотреть ответ

№8

В спортивный лагерь приехали на отдых 155 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

№8.2

В спортивный лагерь приехали на отдых 134 школьника. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

№8.3

В спортивный лагерь приехали на отдых 148 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

№8.4

В спортивный лагерь приехали на отдых 127 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 10 класс Сириус школьный этап 2026

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 4. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 24

№1.2

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 3. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 33

№1.3

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 5. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 19

№1.4

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 6. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 16

№2

Известно, что √(2x² + x + 5) + √(2x² + x) = 3. Найдите √(2x² + x + 5) − √(2x² + x).

Ответ: 5/3

№2.2

Известно, что √(2x² − x + 3) + √(2x² − x) = 5. Найдите √(2x² − x + 3) − √(2x² − x).

Ответ: 3/5

№2.3

Известно, что √(2x² − 3x + 3) + √(2x² − 3x) = 4. Найдите √(2x² − 3x + 3) − √(2x² − 3x).

Ответ: 3/4

№2.4

Известно, что √(2x² − x + 4) + √(2x² − x) = 3. Найдите √(2x² − x + 4) − √(2x² − x).

Ответ: 4/3

№3

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 58 ответов «булочки» и 32 ответа «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 8

№3.2

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 36 ответов «булочки» и 36 ответов «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 6

№3.3

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 44 ответа «булочки» и 28 ответов «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 7

№3.4

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 48 ответов «булочки» и 42 ответа «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 7

№4

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 54°.

Ответ: 81

№4.2

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 59°.

Ответ: 76

№4.3

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 62°.

Ответ: 73

№4.4

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 57°.

Ответ: 78

№5

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 3)/(x − 1)) = 3/x. Найдите f(3).

Ответ: 1/2

№5.2

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 5)/(x − 1)) = 9/x. Найдите f(4).

Ответ: 2

№5.3

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 1)/(x − 1)) = 1/x. Найдите f(3).

Ответ: 1/4

№5.4

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((4x + 3)/(x − 1)) = 3/x. Найдите f(3).

Ответ: -1/2

№6

Имеется квадратное поле со стороной 20√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 4 секунды с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

→ Посмотреть ответ

№6.2

Имеется квадратное поле со стороной 12√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 2 секунды с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

№6.3

Имеется квадратное поле со стороной 20√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 5 секунд с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

№6.4

Имеется квадратное поле со стороной 18√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 6 секунд с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

→ Посмотреть ответ

№7

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √29. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки b2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

олимпиада по математике 10 класс сириус школьный этап 15 октября 2026

Какую длину имеет сумма этих векторов?

№7.2

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √13. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки c2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

№7.3

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √41. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки b1 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

№7.4

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной 2√5. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки d2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

→ Посмотреть ответ

№8

На окружности отмечены 26 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 26 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

№8.2

На окружности отмечены 25 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 25 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

№8.3

На окружности отмечены 28 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 28 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

№8.4

На окружности отмечены 27 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 27 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

→ Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 11 класс Сириус школьный этап 2026

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 16 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 8 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 28

№1.2

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 11 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 13 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 23

№1.3

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 14 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 10 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 26

№1.4

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 17 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 7 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 29

№2

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 14/5.

Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Ответ: 8; 12

№2.2

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 17/6.

Ответ: 10; 15

№2.3

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 11/4.

Ответ: 6; 9

№2.4

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 8/3.

Ответ: 4; 6

№3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 45 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 4 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 17 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 9

№3.2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 42 минуты (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 3 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 12 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 7

№3.3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 18 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 6

№3.4

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 48 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 15 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 8

№4

Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 24

№4.2

Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 32

№4.3

Сколькими способами отрезок длины 53 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 36

№4.4

Сколькими способами отрезок длины 43 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 28

№5

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 31. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 319

№5.2

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 30. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 308

№5.3

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 29. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Замечание. Запись x̅y̅ обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.

Ответ: 297

№5.4

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 275

№6

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 7/6. Найдите наименьший из этих восьми корней.

→ Посмотреть ответ

№6.2

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 13/12. Найдите наименьший из этих восьми корней.

→ Посмотреть ответ

№6.3

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 31/30. Найдите наименьший из этих восьми корней.

№6.4

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 21/20. Найдите наименьший из этих восьми корней.

№7

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.

→ Посмотреть ответ

№7.2

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.

№7.3

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.

№7.4

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 9. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.

→ Посмотреть ответ

№8

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 3a и 4a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

олимпиада по математике 11 класс сириус школьный этап 15 октября 2026

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

№8.2

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 8a и 15a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

№8.3

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 35a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

№8.4

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 5a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

→ Посмотреть ответ

Интересно посмотреть

Олимпиада по химии 7-8 класс 28-29 сентября 2026 ответы и задания школьный этап 2026