Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 11 класса олимпиада по математике 14 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 2 группы регионов Сириус и Москвы всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению на онлайн платформе не позднее 19:00 14 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. Дана арифметическая прогрессия (а), такая, что a1 + a2 = 11, a1 + a2 +a3+ … + a8 = 164. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
Ответ: a=3. Разность прогрессии 5
2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом cd составляет из них число вида ab. С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение ab обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
Ответ: 3/8
3. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку Е — пересечение лучей AD и ВС — и точку F- пересечение лучей АВ и DC. Оказалось, что CD = DE, АЕВ — 52° и угловые меры дуг ВС и AD находятся в соотношении 1: 4. Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги ВС. Ответ выразите в градусах.
Ответ: AFD=78, BC=26.
4. Найдите количество пар различных натуральных чисел а, b, таких, что 1 а <b≤ 64 [a] + [b] = [a] + [b]. Напомним, что [2] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное х, а [x] — наименьшее целое число, большее или равное г.
Ответ: 1568
5. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ: 4 и −40
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
2 вариант
3 вариант
1. Дана арифметическая прогрессия (аn), такая, что a1 + a2 = 10, a1 + a2 +a3 +…+ a8 = 88. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
5. Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен — 3. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, в или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ба. Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
Школьный этап по математике
Стартовал школьный этап всероссийской олимпиады по математике для 7-11 классов в Москве. В связи с техническим сбоем в Московской электронной школе (МЭШ) участники всех классов выполняют задания в резервной тестирующей системе. Для получения резервного кода им необходимо обратиться в свою школу. Администрациям образовательных учреждений резервные коды доступны по ссылке. После первого введения кода в резервную тестирующую систему необходимо ввести ФИО участника. Убедитесь, что автоподстановка не исказила данные. Результаты за олимпиаду, пройденную под ФИО родителей или другими искаженными данными, не смогут быть зачтены школьнику.
Обращаем внимание, что пройти олимпиаду можно только один раз. Выполнить задания можно за класс, равный классу обучения участника или более старший. При прохождении на муниципальный (для 7-11 классов) и следующие этапы (для 9-11 классов) сохраняется класс участия, выбранный на школьном этапе, изменить его будет нельзя. Напоминаем, что в случае нарушения порядка проведения олимпиады результат участника может быть аннулирован. Время проведения и длительность тура зависят от класса участия:
| время проведения тура | длительность тура | приступить к прохождению, чтобы иметь полное время | |
| 7-8 классы | до 21:00 14 октября 2025 года | 90 минут | не позднее 19:30 14 октября 2025 года |
| 9-11 классы | до 21:00 14 октября 2025 года | 120 минут | не позднее 19:00 14 октября 2025 года |
Перед олимпиадой ознакомьтесь с памяткой участника. Согласно порядку проведения школьного этапа, проведение туров по графику и обеспечение условий и возможности участия обучающихся поручено руководителям образовательных организаций. До администраций школ доведены рекомендации по порядку проведения олимпиады в МЭШ и порядку действий в случае непредвиденных ситуаций. Участники могут уточнить, как они должны действовать в той или иной ситуации, в своем образовательном учреждении.