Ответы и авторские решения на все задания для 10, 11 класса олимпиада по математике 5 декабря 2025 муниципальный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Москвы всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению соревнования нужно не позднее 16:00 утра 5 декабря 2025 года.
Олимпиада по математике 10 класс муниципальный этап 2025
1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 21 членов. Известно, что разность суммы последних в и суммы первых и членов равна 450. Укажите все возможные значения n, если известно, что n > 1.
Ответ: 3 5 15
1.2. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 21 членов. Известно, что разность суммы последних в и суммы первых и членов равна 2450. Укажите все возможные значения п, если известно, что n> 1.
Ответ: 5 7 35
2. На множестве целых чисел ввели две операции: axb=b²-a², aob=a-b+3. Найдите значение выражение (… ((((12)3)4) 5)*…) *2028
Ответ: 4055
Ответ: 4043
3. В остроугольном треугольнике АВС провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках Р и Q соответственно и касаются ВС в точках и У соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке 2. Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что ВС 20, AD = 28 а периметр треугольника АВС равен 80.
4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает С++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть а — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. Чему равно наибольшее возможное значение a? Чему равно наименьшее возможное значение а?
5. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку Х, что AX=CD BXD =CDA. Найдите ВХ, если известно, что АВ = 8, BC = 10, CD = 3.
6. При каком наименьшем и во все клетки таблицы 4 х 11 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
7. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером в и ставит её непосредственно справа от книги с номером т, где т — наибольший собственный делитель п. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги. Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
→ Посмотреть все ответы для 10 класса
Олимпиада по математике 11 класс муниципальный этап 2025
1. Найдите натуральное x такое, что x=211
Ответ: 256
Ответ: 27
2. В прямоугольнике АВСD со сторонами АВ = 10, BC = 12 отметили точку М — середину стороны СD. На отрезке ВМ отметили точку В так, что ВС = ВР. Найдите площадь четырехугольника ABPD.
3. Петя случайно выбирает натуральное число а от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число а от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна 1/1300). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом а и разностью в будет равен 1825.
4. У Пети есть натуральное число N. Он рассматривает все пары цифр числа N, одна из которых четная, а другая нечетная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное № могло быть у Пети?
5. Рассмотрим правильную шестнадцати угольную призму А1 А. … A16 В. В. … В16. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы скрещивающихся с диагональю А, В.
6. Функции f(x) и g(х) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что f(x) и д(х) взаимно обратны, при этом значения функций f(x) их во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение g(x) = 25 — 12 имеет целый корень. Найдите все возможные значения этого корня. Напомним, что функции f(x) и д(х), определенные на множестве действительных значений и принимающие действительные значения, являются взаимно обратными, если f(g(x)) =g(f(x)) = x для всех действительных х.
7. В остроугольном треугольнике провели высоту ВН. На дуге АС описанной окружности треугольника АВС, не содержащей точку В, отметили такую точку X такую, что BX — BC. Прямая, проходящая через X параллельно АВ, пересекает отрезки АС и ВС в точках Р и Q. Найдите длину отрезка PQ, если АВ = 9, АС = 10, АН = 3.
8. Петя и Вася играют в следующую игру. На доске 5 х 5 в каждой клетке лежит по и конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по стороне, не более 3 конфет, из всех остальных — не более 5 конфет. Игрок, после чьего хода появляется пустая строка или пустой столбец, побеждает. Для скольких и в диапазоне от 1 до 1400 у Пети есть выигрышная стратегия?
→ Посмотреть все ответы для 11 класса