Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 8 класса олимпиада по математике 16 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 4 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 16 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
1. На клетчатом поле построили змейку из 50 уголков 4 х 4 (уголок — это квадрат 4 х 4, из которого удалили квадрат 3 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1302
1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 х 3 (уголок — это прямоугольник 5 х 3, из которого удалили прямоугольник 4 х 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 2576
1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 х 4 (уголок — это прямоугольник 5 х 4, из которого удалили прямоугольник 4 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 3002
1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 х 4 (уголок — это прямоугольник 6 х 4, из которого удалили прямоугольник 5 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 1362
2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 3 и rз=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 239
2.2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 4 и r3=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 299
2.3. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=4. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 629
2.4. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=3. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 359
3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы пять рыцарей», или «Передо мной хотя бы шесть лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 9
3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 ° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 40, 21
4. Семнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1300. Последнее, наибольшее, семнадцатое, равно 90. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: наибольшее — 69 наименьшее — 2
4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 60, 2
4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 51, 2
4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 40, 21
5. В последовательности a1 = 5, a2 = 2, a3=3/5 каждый член определяется двумя предыдущими: a n+1 = an+1/an-1. Найдите a500.
Ответ: 3
Ответ: 1
Ответ: 2
6. В одной школе в математический кружок ходят 18 восьмиклассников и 20 девятиклассников, в другой — 16 восьмиклассников и 22 девятиклассника. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.2. В одной школе в математический кружок ходят 12 восьмиклассников и 22 девятиклассника, в другой — 14 восьмиклассников и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.3. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 12 девятиклассников, в другой — 24 восьмиклассника и 20 девятиклассников. Всем Восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.4. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой — 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
7. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если ABC = 28°. Ответ выразите в градусах.
7.2. В равнобедренном треугольнике BC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC — 26°. Ответ выразите в градусах.
7.3. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D. а на стороне АВ — точку Е, так что BD — AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если АВС -34. Ответ выразите в градусах.
7. В равнобедренном треугольнике АВС АВ — ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE — BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC =32°. Ответ выразите в градусах.
8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, а4, a5, b1, b2, b3, b4, b5 таковы, что пять прямых у = а1х + b1, y = a2x + b2, y = a3x+bs, y = a4x + bs, y = a5x + b5 — пересекаются в одной точке. Числа С1, С2, С3, С4, С5 это числа 61, 62, 63, 64, 65 записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые у = а1х + с1, у = а2х + С2, у=а3х + c3, у = а4х + с4, у = a5х + c5 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы а161 + а2b2 + а3b3 + a4b4 + a5b5.
Данные ответы и задания олимпиады по математике подойдут для регионов Сириус: Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ.