Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 6 класса олимпиада по математике 16 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 3 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 16 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025
1. В комнате находятся Игорь, Кирилл, Лев и Макар. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Игорь: «Мы с Макаром относимся к разным типам». Кирилл: «Мы со Львом относимся к одному типу. Игорь: «Кирилл — лжец». Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2, Игорь — рыцарь, Кирилл — лжец, Лев — рыцарь, Макар — лжец
1.2. В комнате находятся Леонид, Михаил, Назар и Олег. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Леонид: «Олег — лжец». Олег: «Мы с Назаром относимся к одному типу. Леонид: «Мы с Михаилом относимся к разным типам». Сколько среди них рыцарей?
Ответ: 2, Леонид: Рыцарь Михаил: Лжец Назар: Рыцарь Олег: Лжец
1.3. В комнате находятся Ярослав, Юрий, Эдуард и Шарль. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Ярослав: «Мы с Шарлем относимся к разным типам». Юрий: «Ярослав — лжец». Ярослав: «Мы с Эдуардом относимся к одному типу. Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2, Эдуард: Рыцарь Шарль: Лжец Ярослав — Лжец Юрий — Рыцарь
1.4. В комнате находятся Андрей, Борис, Виктор и Геннадий. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Андрей: «Борис-лжец». Борис: «Мы с Виктором относимся к одному типу. Андрей: «Мы с Геннадием относимся к разным типам». Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2 . Андрей: рыцарь Борис: лжец Виктор: рыцарь Геннадий: лжец
2. Вася взял белый прямоугольник 36 х 45 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем -снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 x 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 72
2.2. Вася взял белый прямоугольник 40 х 63 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем — снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 130
2.3. Вася взял белый прямоугольник 32 х 41 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 64
2.4. Вася взял белый прямоугольник 28 х 51 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем — снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 56
3. Десять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 21. Людей в красных колпаках не меньше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 6
3.2. Десять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 24. Людей в красных колпаках не меньше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 7
3.3. Девять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 16. Людей в красных колпаках не больше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 4
3.4. Двенадцать человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках позади него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках впереди него. Сумма названных чисел оказалась равна 31. Людей в красных колпаках не больше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 5
4. В семье есть папа, мама и несколько детей. 31 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 60, 31 марта 2023 — 67, 31 августа 2025 — 77. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 3
4.2. В семье есть папа, мама и несколько детей. 1 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 90, 1 марта 2023 — 101, 1 октября 2025 — 113. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 4
4.3. В семье есть папа, мама и несколько детей. 1 февраля 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 70, 1 мая 2023 — 77, 1 октября 2025 — 87. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 3
4.3. В семье есть папа, мама и несколько детей. 10 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 94, 10 апреля 2023-105, 10 октября 2025 — 117. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 4
5. У Андрея есть 15 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Андрей ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана единица, двойка или тройка, то число нижней грани следующего кубика должно быть вдвое больше, а для чисел от 4 до 6 на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 3 меньше. Андрей таким образом построил башню из 15 кубиков. Какое число НЕ может быть верхним на 15-м кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1, 2, 3
5.2. У Стаса есть 20 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Стас ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана двойка, четвёрка или шестёрка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое меньше, а для нечётных чисел на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 1 больше. Стас таким образом построил башню из 20 кубиков, и оказалось, что на верхней грани 20-го кубика написана пятёрка. Какое число НЕ может быть верхним ни на одном из кубиков? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3
5.3. У Сергея есть 10 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Сергей ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана двойка, четвёрка или шестёрка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое меньше, а для нечётных чисел на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 1 больше. Сергей таким образом построил башню из 10 кубиков. Какое число НЕ может быть верхним на 10-м кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 2, 4, 6
5.4. У Миши есть 20 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Миша ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана единица, двойка или тройка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое больше, а для чисел от 4 до 6 на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 3 меньше. Миша таким образом построил башню из 20 кубиков, и оказалось, что на верхней грани 20-го кубика написана пятёрка. Какое число НЕ может быть верхним на первом кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4, 6
6. Сколькими способами можно разрезать фигуру на рисунке на части размером по четыре клетки?
7. У Макса есть несколько талеров. Этих денег хватит, чтобы купить 8 огурцов (и даже ещё останется), но не хватит для покупки шести помидоров. Одиннадцать огурцов стоят столько же, сколько восемь помидоров. Большая тарелка овощей стоимостью 70 талеров также оказалась не по карману Максу. Огурец стоит целое число талеров, и помидор тоже стоит целое число талеров. Сколько талеров у Макса?
7.2. У Мити есть несколько тугриков. Этих денег хватит, чтобы купить 4 пирожка (и даже ещё останется), но не хватит для покупки семи булочек. Двенадцать булочек стоят столько же сколько семь пирожков. Комплексный обед стоимостью 100 тугриков также оказался не по карману Мите. Булочка стоит целое число тугриков, и пирожок тоже стоит целое число тугриков. Сколько тугриков у Мити?
7.3. У Дины есть несколько динариев. Этих денег хватит, чтобы купить 25 пончиков (и даже ещё останется), но не хватит для покупки 11 пирожков. Три пирожка стоят столько же, сколько семь пончиков. Набор выпечки стоимостью 100 динариев также оказался не по карману Дине. Пончик стоит целое число динариев, и пирожок тоже стоит целое число динариев. Сколько у неё динариев?
7.4. У Сильвера есть несколько пиастров. Этих денег хватит, чтобы купить 8 попугаев (и даже ещё останется), но не хватит для покупки десяти бутылок рома. Пять попугаев стоят столько же, сколько шесть бутылок рома. Искусственная нога стоимостью 50 пиастров также оказалась не по карману Сильверу. Попугай стоит целое число пиастров, и бутылка рома тоже стоит целое число пиастров. Сколько у Сильвера пиастров?
8. В конкурсе середнячков приняли участие 49 танцоров, каждый из которых на жеребьёвке получил уникальный номерок с числом 1, 2, 3, …, 49. Затем танцоров случайным образом распределили на группы по семь, расположили номера участников внутри группы в порядке возрастания и из каждой выбрали того, чей номер оказался «средним» в ряду. Среди отобранных семи танцоров по такому же принципу выбрали одного. Какое минимальное число может быть написано на его номерке?
8.2. В конкурсе середнячков приняли участие 25 танцоров, каждый из которых на жеребёвке получил уникальный номерок с числом 1, 2, 3, …, 25. Затем танцоров случайным образом распределили на группы по пять, расположили номера участников внутри группы в порядке возрастания и из каждой выбрали того, чей номер оказался «средним» в ряду. Среди отобранных пяти танцоров по такому же принципу выбрали одного. Какое минимальное число может быть написано на его номерке?
8.3. В кафе, в котором было шесть пятиместных столов, пришли 25 человек возрастом 21, 22, 23,…, 45 лет. Они заняли первые пять столов, разделившись на группы по пять человек. За каждым столом выбрали среднего по возрасту человека (т. е. двое за его столом моложе выбранного, а остальные двое — старше), и пятеро выбранных пересели за шестой стол. Затем за шестым столом точно так же выбрали среднего по возрасту человека. Какой наименьший возраст у него мог быть?
8.4. Двадцать пять камней имеют массу 1 г. 2 г. 3г. … 25 г, но неизвестно, какой из камней сколько весит. Эти камни как-то разложены в пять кучек по пять камней. Из каждой кучки выбирают средний по массе камень (т. е. два камня в его кучке легче него и два тяжелее), а из выбранной пятёрки снова выбирают средний по массе. Какую наибольшую массу он может иметь?