Ответы и авторские решения на все задания для 11 класса онлайн олимпиада по математике 8 ноября 2025 муниципальный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области взлёт всего в олимпиаде 5 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 10:00 утра 8 ноября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 11 класс муниципальный этап 2025
1. Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
Ответ: не могло
2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
3. Петя вырезал из картона 21 треугольник, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 21-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 872.
4. На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28- угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму 𝑆1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму 𝑆2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если 𝑆1 > 𝑆2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
5. Верно ли, что у уравнения 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑐 4 есть решение в натуральных числах такое, что 𝑐 > 5 2025?
→ Посмотреть все ответы и задания