Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 11 класса онлайн олимпиада по математике 17 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 3 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 17 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 22232425?
Ответ: 222324282
1.2. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 24252627?
Ответ: 624252627
1.3. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 29282726?
Ответ: 292827264
2. На доске написаны 73 натуральных числа. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 11 чисел, затем Ваня стирает 10 чисел, после этого Аня стирает 9 чисел, за ней Ваня — 8 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 7 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?
Ответ: 14
2.2. На доске написаны 96 натуральных чисел. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 13 чисел, затем Ваня стирает 12 чисел, после этого Аня стирает 11 чисел, за ней Ваня — 10 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 5 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?
Ответ: 59
3. Уравнение (x2 + 16x +b)(x2 + 16x +b+ 50) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: -25, -21
3.2. Уравнение (x2 + 13x +b) (x2 + 13x +b — 32) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: -12.5
3.3. Уравнение (x2 + 14x +b)(x2 + 14x +b+ 18) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4. Обозначим через Р(1, х2,, аn) сумму чисел, обратных всем возможным произведениям чисел из множества М = {х1, 2, .., } (в произведение может входить И одно число). 1 1 1 1 1 1 1 68 17 Например, Р(3, 4, 6) += + + + + 349 12 18 24 72 72 18 Найдите Р(1, 2, 3, …, 124, 125).
Ответ: 126 — 1/125
Ответ: 426 — 1/425
5. В пространстве даны замкнутая 13-звенная ломаная А1 А2… А13 41, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA1 А2, SA A3….,SA12A13, SA13 А1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 6. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
Ответ: 26
5.2. В пространстве даны замкнутая 11-звенная ломаная А1 А2… А11 41, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA1 А2, SA A3,…,SA 10 A11, SA11 А1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 5. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
Ответ: 24
5.3. В пространстве даны замкнутая 15-звенная ломаная А1 А2… А15 А1, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA A2, SA A3….,SA 14A15, SA15 A1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 7. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
6. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
Ответ: 08:07
6.2. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через две с половиной минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
Ответ: 08:10
6.3. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 5 минут, второй — за 7 минут, третий — за 9 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
6.4. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 7 минут, второй — за 9 минут, третий — за 11 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
7. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что АР = 6, AQ = 20. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и СQ имели целую длину, а угол АС В был прямым?
7.2. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что АР = 4, AQ = 18. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и СQ имели целую длину, а угол АСВ был прямым?
7.3. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что AP = 16, AQ = 25. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и CQ имели целую длину, а угол АСВ был прямым?
8. В клетках доски 32 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.2. В клетках доски 32 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.3. В клетках доски 47 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.4. В клетках доски 47 х 32 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
→ Посмотреть все ответы для 11 класса