Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 11 класса олимпиада по математике 16 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 4 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 16 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
Ответ: 1, 96
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: этаж: 2 Наибольший номер квартиры: 48
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
Ответ: этаж: 4. Наибольший номер квартиры: 39
1.4. Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на четвёртом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: Этаж: 3, Квартира: 76
2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 8
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 26
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые -в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 6
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 15
3. Последовательность (а) определена следующим образом: a1 = 1, a10=55, an+2 = 2an+1 — an для всех натуральных п. Найдите а3. Найдите сумму а1 +а2+ … + a100.
Ответ: а-13, б-29800
4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее 407. Наименьшее 5.
4.2. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее количество: 99 Наименьшее число: 7
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: наибольшее 86. Наименьшее число в наборе: 8 и 24
4.4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 113, 6
5. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС точка М — середина АС, N — середина ВС. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке К. Найдите AB +2KN, если BC = 18, tg ACB 40/9
Ответ: 82
6. Решите уравнение в натуральных числах: 2×2+5y2-4xy+7=8x+2y. Для каждой пары решений (х; у) в ответ напишите сумму х + у. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7. В тетраэдре АВСD рёбра AD и ВС перпендикулярны. Пусть АН И DE- высоты тетраэдра. Найдите НЕ, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями АВС и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать № способами. Каким числам НЕ может равняться №? Выберите все подходящие варианты.