Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 10 класса олимпиада по математике 17 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 3 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 17 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2014. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2014, 11
1.2. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2001. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2001, 11
1.3. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2028. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2020, 20
2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня — две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?
Ответ: 724
2.2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?
Ответ: 724
3. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/6 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30% и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/10 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.
Ответ: 13/3 часа
3.2. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/3 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30% и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/12 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.
Ответ: 13/2
4. Дан квадратный трёхчлен х2 — 2bx + с², который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 2 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится с? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: c2 + 4b + 4
4.2. Дан квадратный трёхчлен x2 — 2bx + 2, который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 1 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится с? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: c2+2b+1
5. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику АСЕ. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1/2
5.2. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ADE. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1\3
5.3. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ACD. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1\6
6. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
6.2. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
6.3. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 10 и 24 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
7. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1500 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
7.2. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 16 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1720 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
7.3. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1640 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
8. По кругу стоят 240 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
8.2. По кругу стоят 288 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
8.3. По кругу стоят 132 человека: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
Данные ответы и задания олимпиады по математике подойдут для регионов Сириус: Астраханская область 50. Курганская область 51. Омская область 52. Оренбургская область 53. Пермский край 54. Республика Башкортостан 55. Самарская область 56. Саратовская область 57. Свердловская область 58. Тюменская область 59. Удмуртская Республика 60. Ульяновская область 61. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 62. Челябинская область 63. Ямало-Ненецкий автономный округ.