Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 10 класса олимпиада по математике 16 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 4 группы регионов Сириус всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению не позднее 19:00 16 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21
1.2 Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 22
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 23
2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5, 6, 7
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 8, 9, 10
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21, 22, 23
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15, 16, 17
3. В трапеции ABCD точки Р и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если LBAD = 33°, LCDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114 градусов
3.3. В трапеции ABCD точки Р и Q-середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если BAD =36°, CDA 54. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114
3.4. В трапеции ABCD точки Р и Q -середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ВАD = 31°, CDA 59°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 108
4. Последовательность чисел (an) определяется следующим образом: a1=2, a2=12/13, an=an-2*an-1/2an-2-an-1 для всех n = 3, 4, . … Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
Ответ: 12/3499
Ответ: 3/799
Ответ: 10/2399
Ответ: 4/1499
5. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите с. Найдите f(3) + f(-3).
Ответ: 60/13 и 693/130
5.2. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите с. Найдите f(2) + f(2).
Ответ: -24/5; -119/15
5.3. График квадратичной функции f(x) = ax2 +bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Найдите с.
Ответ: -48/5; -238/15
5.4. График квадратичной функции f(x) = ax2 + х + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите с.
Ответ: -36/5; -1271/90
6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcde f — ab — cd — ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.3. Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cdef для некоторого шестизначного числа abadef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.4. Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cd ef для некоторого шестизначного числа abade f. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%,…, n-й — 1 %, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
900
910
920
925
950
970
7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
700
720
725
760
770
790
7.3. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив п 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью 5 рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, п-й 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
600
620
625
630
670
680
8. Окружности w1 и w2 имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность w3 — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом w1 и w2 лежащая внутри этих окружностей. Окружность w4 касается внутренним образом w1 и внешним w3. Найдите радиус окружности w4.
