Ответы и авторские решения на все задания и варианты для 10 класса олимпиада по математике 14 октября 2025 школьный этап ВСОШ официальной всероссийской олимпиады школьников 2 группы регионов Сириус и Москвы всего в олимпиаде 8 заданий от Академии сова приступить к прохождению на онлайн платформе не позднее 19:00 14 октября 2025 года.
→ Получить все ответы и задания
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 115 раз.
Ответ: 690
1.2. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 113 раз.
Ответ: 791
1.3. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 114 раз.
Ответ: 798
1.4. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 112 раз.
Ответ: 896
2. В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 80400 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ: 201
2.2 В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 20200 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ: 101
3. Последовательность целых чисел {xn} такова, что х1 = 1300 и n+1 = 2, 7 для всех n > 1. Найдите такое минимальное n, что х+2= n.
Ответ: 186
Ответ: 143
4. На праздновании Нового года 46 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки? Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 46 и 1
4.2. На праздновании Нового года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 39 и 1
4.3. На праздновании Нового года 43 школьника встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 42 и 1
5. В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что ABC = ACD = 90°, AB = 7, BC =5. Найдите CD.
Ответ: 7
5.2. В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что ABC = ACD = 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите CD.
Ответ: 5
6. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 2613. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Ответ: 1 такая последовательность и второй член равен 193
6.2. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 650. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
6.3. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 3900. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
6.4. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 1313. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
7. Дан вписанный четырёхугольник АBCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом /ABD = 10° DBC = 92°. Найдите ВСА. Ответ выразите в градусах.
7.2. Дан вписанный четырёхугольник АBCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом ABD = 13° и DBC = 93°. Найдите ВСА. Ответ выразите в градусах.
7.3. Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом ABD = 12° DBC = 96°. Найдите ДВСА. Ответ выразите в градусах.
8. В ряд стоят 32 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 32. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс? Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
8.2. В ряд стоят 24 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 24. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков И переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
8.3. В ряд стоят 20 ящиков, пронумерованных слева направо числами от 1 до 20. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
8.4. В ряд стоят 28 ящиков, пронумерованных слева направо числами от 1 до 28. В ящиках нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков C и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?